Kalkulator kryterium stabilności Routha–Hurwitza
Wpisz swoje wartości. Odpowiedź i pełne rozwiązanie aktualizują się w trakcie pisania.
Wynik
| kolumna 1 | kolumna 2 | kolumna 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Sprawdź stabilność układu liniowego na podstawie jego wielomianu charakterystycznego. Kalkulator buduje tablicę Routha na dokładnych ułamkach, obsługuje zero w pierwszej kolumnie (metoda ε) i wiersz zer (wielomian pomocniczy), zlicza zmiany znaku i podaje liczbę pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, na osi urojonej i w lewej półpłaszczyźnie.
Rozwiązanie krok po kroku
Wielomian charakterystyczny
Dwa pierwsze wiersze
Kolejne wiersze
Policz zmiany znaku w pierwszej kolumnie
Najważniejsze wzory
- Stabilność
- wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego w lewej półpłaszczyźnie
- tablica Routha, element s¹ wielomianu trzeciego stopnia
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Pierwiastki w prawej półpłaszczyźnie
- liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie
- Wielomian trzeciego stopnia s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- stabilny, gdy wszystkie a > 0 oraz a₂·a₁ > a₀
- Równanie charakterystyczne
- 1 + K·G(s) = 0
Jak stosować kryterium Routha–Hurwitza
- Zapisz wielomian charakterystyczny ze wszystkimi potęgami s od najwyższej w dół. Jeśli brakuje współczynnika lub znaki się różnią, układ nie może być stabilny.
- Wypełnij pierwszy wiersz współczynnikami 1., 3., 5., … a drugi wiersz współczynnikami 2., 4., 6., ….
- Każdy następny element to (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, z użyciem dwóch wierszy nad nim.
- Jeśli pierwszy element jest zerem, ale wiersz nie jest cały zerowy, zastąp go małym ε > 0. Jeśli cały wiersz jest zerowy, zastąp go pochodną wielomianu pomocniczego utworzonego z wiersza powyżej.
- Liczba zmian znaku w pierwszej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
Pytania i odpowiedzi
Co oznacza wiersz zer?
Wielomian ma pierwiastki symetryczne względem początku układu: pary ±a, ±jω lub czwórki. Wielomian pomocniczy z wiersza powyżej zawiera dokładnie te pierwiastki, a jego pierwiastki na osi urojonej sprawiają, że układ jest w najlepszym razie na granicy stabilności.
Czy metoda ε jest zawsze niezawodna?
Nie, gdy pierwiastki leżą na osi urojonej. Dlatego kalkulator wydziela też wspólny czynnik P(s) i P(−s), który zawiera wszystkie pierwiastki symetryczne, i dokładnie zlicza jego pierwiastki na osi urojonej. Jeśli zmienia to wynik zliczania, kroki o tym mówią.
Jak znaleźć zakres K dla stabilności?
Wstaw wzmocnienie K do współczynników, zbuduj tablicę symbolicznie i wymagaj, aby każdy element pierwszej kolumny był dodatni. Ten kalkulator pracuje na liczbach, więc możesz nim sprawdzić wartość K po obu stronach znalezionej granicy.
Czy stabilna tablica Routha oznacza dobry projekt?
Mówi tylko, że wszystkie bieguny leżą w lewej półpłaszczyźnie. To, jak szybka i jak dobrze tłumiona jest odpowiedź, zależy od położenia biegunów; do tego użyj linii pierwiastkowych lub wykresu Bodego.
Przećwicz to sam
Ćwicz: Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa
Kalkulator daje odpowiedź. Na egzaminie potrzebujesz metody: ćwicz ją na nowych zadaniach z podpowiedziami i rozwiązaniami.