Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: pochodne cząstkowe i całki podwójne, gradient, płaszczyzna styczna i reguła łańcuchowa, punkty krytyczne i całki po obszarach.

Darmowe zadanieŁatwy
xy3−3P

Dla f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy znajdź pochodną cząstkową ∂f/∂x w punkcie (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychĆwicz teraz: Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwypochodne cząstkowe i całki podwójne
  2. Średnigradient, płaszczyzna styczna i reguła łańcuchowa
  3. Trudnypunkty krytyczne i całki po obszarach

Jak rozwiązywać zadania: Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

  1. Przy pochodnej cząstkowej traktuj drugą zmienną jak stałą i używaj reguł dla jednej zmiennej.
  2. W zadaniach o gradiencie oblicz ∇f = (fx, fy) w punkcie; użyj |∇f| dla największego nachylenia i ∇f·u z wektorem jednostkowym u dla pochodnej kierunkowej.
  3. Dla ekstremów rozwiąż jednocześnie fx = 0 i fy = 0, a potem sklasyfikuj każdy punkt przez D = fxx·fyy − fxy².
  4. Dla całki podwójnej naszkicuj obszar, wybierz kolejność (lub współrzędne biegunowe dla kół), aby granice wewnętrzne były krzywymi ograniczającymi, i całkuj najpierw wewnątrz.

Typowe błędy

  • Różniczkowanie zmiennej, która powinna być stała.
  • Zapomnienie o unormowaniu wektora kierunku.
  • Zapisanie D = fxx·fyy + fxy² albo nazwanie punktu z D < 0 ekstremum.
  • Użycie stałych granic wewnętrznych dla obszaru ograniczonego krzywymi.
  • Pominięcie czynnika r w dA = r dr dθ.

Najważniejsze wzory

Pochodne cząstkowe
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Pochodna kierunkowa
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Płaszczyzna styczna
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Reguła łańcuchowa
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test drugiej pochodnej
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Całka podwójna
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Współrzędne biegunowe
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Naucz się tematu Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych od zera

Wcześniej: Pochodne, Całki

1Pochodne cząstkowe

Funkcja dwóch zmiennych, z = f(x, y), to powierzchnia nad płaszczyzną xy. Na mapie rysuje się ją za pomocą warstwic, czyli linii, na których f ma tę samą wartość.

Pochodna cząstkowa mierzy nachylenie w jednym kierunku. Dla ∂f/∂x (zapisywanej też fx) trzymasz y stałe i różniczkujesz względem x zwykłymi regułami.

Przykład: f(x, y) = x²y + 3y². Dla fx traktuj y jak liczbę, a dla fy traktuj x jak liczbę:

fx = 2xy fy = x² + 6y

Dla (1, 2) daje to fx = 4 i fy = 1 + 12 = 13.

Ponowne różniczkowanie daje pochodne cząstkowe drugiego rzędu fxx, fyy i fxy. Kolejność pochodnej mieszanej nie ma znaczenia: fxy = fyx. Tutaj fxy = 2x.

Samosprawdzenie Ile wynosi ∂f/∂y dla f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Odpowiedź: 2x³y. Trzymaj x stałe: x³ jest stałym czynnikiem, a y² daje 2y, więc fy = 2x³y. Wyrażenie 3x²y² to ∂f/∂x.

2Gradient i pochodna kierunkowa

Gradient zbiera obie pochodne cząstkowe: ∇f = (fx, fy). Wskazuje kierunek, w którym f rośnie najszybciej, pod kątem prostym do warstwicy.

xy∇fP

Samo największe nachylenie to długość |∇f| = √(fx² + fy²).

Nachylenie w dowolnym innym kierunku v to pochodna kierunkowa. Najpierw zrób z v wektor jednostkowy u = v/|v|, potem oblicz iloczyn skalarny:

Duf = ∇f·u

Dla f = x²y + 3y² w punkcie (1, 2): ∇f = (4, 13). W kierunku v = (3, 4) mamy u = (0,6; 0,8), więc Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Samosprawdzenie W pewnym punkcie ∇f = (3, 4). Jaka jest tam największa szybkość wzrostu f?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Odpowiedź: 5. To |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Dodanie składowych daje 7, a pominięcie pierwiastka daje 25.

3Płaszczyzna styczna i reguła łańcuchowa

W pobliżu punktu (a, b) powierzchnia jest prawie płaska. Płaszczyzna styczna to

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Daje ona przybliżenie liniowe f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Przykład: f = x²y + 3y² ma f(1, 2) = 14, więc w pobliżu (1, 2): f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Dokładna wartość to 13,129.

Gdy x i y zależą od t, reguła łańcuchowa dodaje obie drogi: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Punkty krytyczne

W maksimum, minimum lub punkcie siodłowym powierzchnia jest płaska: fx = 0 i fy = 0. Takie punkty to punkty krytyczne.

Test drugiej pochodnej używa D = fxxfyy − fxy² w tym punkcie:

  • D > 0 i fxx > 0: minimum lokalne.
  • D > 0 i fxx < 0: maksimum lokalne.
  • D < 0: punkt siodłowy, w jednym kierunku w górę, w innym w dół.
  • D = 0: test nic nie rozstrzyga.
Przykład krok po kroku

Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne funkcji f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Przyrównaj obie pochodne cząstkowe do zera

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Punkty krytyczne to (1, 2) i (−1, 2).

2

Pochodne drugiego rzędu

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Sprawdź (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 i fxx = 6 > 0: minimum lokalne, z f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Sprawdź (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: punkt siodłowy.

Odpowiedź

Minimum lokalne w (1, 2) z f = −6; punkt siodłowy w (−1, 2).

5Całki podwójne

Całka podwójna ∬R f dA sumuje f po obszarze R; dla f = 1 jest to pole R. Oblicza się ją jako dwie całki pojedyncze, najpierw wewnętrzną.

Po prostokącie granice to liczby: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. Całka wewnętrzna daje x + 1, a ∫02 (x + 1) dx = 4.

Po obszarze ogólnym granice wewnętrzne to krzywe ograniczające obszar. Dla obszaru między y = x² a y = 2x, y biegnie od x² do 2x, a x od 0 do 2.

xyy = 2xy = x²2
Pole = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Dla kół i wycinków użyj współrzędnych biegunowych: x² + y² = r² i dA = r dr dθ. Po kole r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Samosprawdzenie Czym staje się dA we współrzędnych biegunowych?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Odpowiedź: r dr dθ. Mały element biegunowy ma szerokość Δr i długość r·Δθ, więc dA = r dr dθ. Pominięcie czynnika r to najczęstszy błąd.

6Typowe błędy i pytania egzaminacyjne

  • Różniczkowanie także „stałej” zmiennej w pochodnej cząstkowej.
  • Użycie v zamiast wektora jednostkowego u w pochodnej kierunkowej.
  • Zapisanie D = fxxfyy + fxy² albo uznanie punktu z D < 0 za ekstremum.
  • Użycie liczb jako granic wewnętrznych, gdy obszar jest ograniczony krzywymi.
  • Pominięcie czynnika r we współrzędnych biegunowych.

Łatwe: pochodne cząstkowe w punkcie i całki po prostokątach. Średnie: gradient, pochodna kierunkowa, płaszczyzna styczna i reguła łańcuchowa. Trudne: klasyfikacja punktów krytycznych i całki po obszarach krzywoliniowych, we współrzędnych biegunowych lub z odwróconą kolejnością.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
xy−1−3P

Dla f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy znajdź pochodną cząstkową ∂f/∂x w punkcie (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Oblicz fx(−1, −3)

Pokaż podpowiedzi
  1. Traktuj y jak stałą liczbę i różniczkuj względem x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Podstaw x = −1 i y = −3.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Pochodne cząstkowe: ∂f/∂x to zwykła pochodna względem x, gdy y jest stałe (traktuj y jak liczbę), a ∂f/∂y odwrotnie. Reguły (potęgi, iloczynu, łańcuchowa) są takie same jak dla jednej zmiennej. Mieszane pochodne drugiego rzędu dają ten sam wynik w obu kolejnościach: fxy = fyx. Całkę podwójną po prostokącie oblicza się jako dwie całki pojedyncze, najpierw wewnętrzną: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Zróżniczkuj

y jest stałe.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Podstaw

fx(−1, −3) = −4

Odpowiedź

fx(−1, −3) = −4
Przykład 2Średni

z = 2x²e3y, gdzie x = −t − 2 i y = t² + 2. Użyj reguły łańcuchowej, aby znaleźć dz/dt dla t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Oblicz dz/dt

Pokaż podpowiedzi
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Dla t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Gradient: ∇f = (fx, fy) wskazuje kierunek najszybszego wzrostu, a |∇f| to największa szybkość zmiany. Pochodna kierunkowa wzdłuż kierunku v to Duf = ∇f·u z wektorem jednostkowym u = v/|v|. Płaszczyzna styczna w (a, b) to z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); daje liniowe przybliżenie f w pobliżu tego punktu. Reguła łańcuchowa: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Punkt i szybkości zmian

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Pochodne cząstkowe

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Reguła łańcuchowa

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Odpowiedź

dz/dt = 3227
Przykład 3Trudny
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

Funkcja f(x, y) = x³ + y³ − 3xy ma punkt krytyczny w (1, 1). Oblicz tam wyróżnik D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Oblicz D

Pokaż podpowiedzi
  1. Znajdź trzy pochodne drugiego rzędu fxx, fyy i fxy.
  2. W punkcie: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Punkty krytyczne i całki podwójne: punkt krytyczny ma fx = fy = 0. Test drugiej pochodnej z D = fxxfyy − fxy²: D > 0 i fxx > 0 to minimum lokalne, D > 0 i fxx < 0 maksimum lokalne, D < 0 punkt siodłowy, a D = 0 nic nie rozstrzyga. Dla całki podwójnej po obszarze ogólnym granice wewnętrzne wyznaczają krzywe ograniczające obszar; dla kół i wycinków użyj współrzędnych biegunowych, x = r cos θ, y = r sin θ oraz dA = r dr dθ (nie zapomnij o czynniku r).

Pochodne drugiego rzędu

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Wyróżnik

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ minimum lokalne

Odpowiedź

D = 27

Pytania i odpowiedzi

Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych: co to jest?

Funkcja dwóch zmiennych, z = f(x, y), to powierzchnia nad płaszczyzną xy. Na mapie rysuje się ją za pomocą warstwic, czyli linii, na których f ma tę samą wartość.

Przykład: f(x, y) = x²y + 3y². Dla fx traktuj y jak liczbę, a dla fy traktuj x jak liczbę:

Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Przy pochodnej cząstkowej traktuj drugą zmienną jak stałą i używaj reguł dla jednej zmiennej.
  2. W zadaniach o gradiencie oblicz ∇f = (fx, fy) w punkcie; użyj |∇f| dla największego nachylenia i ∇f·u z wektorem jednostkowym u dla pochodnej kierunkowej.
  3. Dla ekstremów rozwiąż jednocześnie fx = 0 i fy = 0, a potem sklasyfikuj każdy punkt przez D = fxx·fyy − fxy².
  4. Dla całki podwójnej naszkicuj obszar, wybierz kolejność (lub współrzędne biegunowe dla kół), aby granice wewnętrzne były krzywymi ograniczającymi, i całkuj najpierw wewnątrz.
Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych: jakie błędy są najczęstsze?
  • Różniczkowanie zmiennej, która powinna być stała.
  • Zapomnienie o unormowaniu wektora kierunku.
  • Zapisanie D = fxx·fyy + fxy² albo nazwanie punktu z D < 0 ekstremum.
  • Użycie stałych granic wewnętrznych dla obszaru ograniczonego krzywymi.
  • Pominięcie czynnika r w dA = r dr dθ.
Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych: co ćwiczysz?
  • Łatwy: pochodne cząstkowe i całki podwójne
  • Średni: gradient, płaszczyzna styczna i reguła łańcuchowa
  • Trudny: punkty krytyczne i całki po obszarach

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

PochodneCałki

Przedmioty z tym tematem

Matematyka inżynierska 2Analiza matematyczna 2

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychĆwicz teraz: Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.