Granice: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: granica funkcji · granica ciągu · reguła de l’Hospitala

Darmowe zadania z tematu Granice z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: bezpośrednie podstawienie i rozkład na czynniki, granice w nieskończoności, Reguła de l'Hospitala.

Darmowe zadanieŁatwy
xy9x = 9

Oblicz granicę L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: GraniceĆwicz teraz: Granice5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwybezpośrednie podstawienie i rozkład na czynniki
  2. Średnigranice w nieskończoności
  3. TrudnyReguła de l'Hospitala

Najważniejsze wzory

Bezpośrednie podstawienie
najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności
podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Reguła de l'Hospitala
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Naucz się tematu Granice od zera

1Czym jest granica

Granica opisuje wartość, do której funkcja się zbliża, gdy x zbliża się do pewnej liczby. Nie ma znaczenia, co dzieje się dokładnie w tej liczbie.

Weź f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Dla x = 1 dostajesz 0/0, co nie ma wartości. Ale możesz spróbować liczb bliskich 1.

  • x = 0,9 daje f = 1,9.
  • x = 0,99 daje f = 1,99.
  • x = 1,01 daje f = 2,01.

Wartości zbliżają się coraz bardziej do 2. Zapisujemy:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

Wykres jest prostą z jednym brakującym punktem, dziurą w (1, 2). Granica to wysokość dziury.

Samosprawdzenie Funkcja g daje g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 i g(3,01) = 6,01. Nie jest określona w x = 3. Ile wynosi granica przy x → 3?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Nie istnieje, bo g(3) nie jest określone

Odpowiedź: 6. Wartości zbliżają się do 6 z obu stron, więc granica wynosi 6. Granica patrzy tylko na wartości w pobliżu x = 3, nigdy na samo x = 3.

2Podstawianie, 0/0 i rozkład na czynniki

Zawsze najpierw spróbuj podstawienia bezpośredniego: wstaw liczbę. Jeśli dostaniesz zwykłą liczbę, to jest granica.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Jeśli dostaniesz 0/0, to jeszcze nie koniec. 0/0 to wyrażenie nieoznaczone: sygnał do uproszczenia, a nie odpowiedź.

Zwykle licznik i mianownik mają wspólny czynnik, który w tym punkcie jest zerem. Rozłóż oba na czynniki, skróć wspólny czynnik, potem podstaw jeszcze raz.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Granica przy x → 3 wynosi więc 3 + 3 = 6. Przydatne wzory na rozkład:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Trójmian kwadratowy taki jak x² − x − 30 rozkłada się na (x − 6)(x + 5): znajdź dwie liczby, których iloczyn to −30, a suma −1.

Przy pierwiastku pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Samosprawdzenie Ile wynosi limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Nie istnieje, bo dostajesz 0/0

Odpowiedź: 4. Podstawienie daje 0/0, więc rozłóż na czynniki: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, co dla x = 2 wynosi 4. Zatrzymanie się na 0/0 to błąd stojący za odpowiedzią „nie istnieje”.

3Granice w nieskończoności i reguła L’Hôpitala

x → ∞ oznacza, że x rośnie bez końca. W ułamku z wielomianami, gdy x jest ogromne, liczą się tylko najwyższe potęgi.

Podziel każdy składnik przez najwyższą potęgę x w mianowniku. Składniki takie jak 4/x i 7/x² dążą do 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Ta sama najwyższa potęga w liczniku i mianowniku: granica to stosunek współczynników przy najwyższych potęgach.
  • Wyższa potęga w mianowniku: granica wynosi 0.
  • Wyższa potęga w liczniku: ułamek rośnie bez końca, więc nie ma granicy skończonej.

Dla √(x² + 6x) − x pomnóż przez sprzężenie. Dostajesz 6x/(√(x² + 6x) + x), co dąży do 6/(1 + 1) = 3.

Reguła L’Hôpitala: jeśli podstawienie daje 0/0 lub ∞/∞, możesz zastąpić licznik i mianownik ich pochodnymi, każde osobno.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Jeśli znów dostaniesz 0/0, zastosuj regułę jeszcze raz. Granice trygonometryczne zawsze używają x w radianach.

Samosprawdzenie Ile wynosi limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Odpowiedź: 2. Najwyższe potęgi są równe (x²), więc granica to stosunek współczynników przy najwyższych potęgach: 4/2 = 2. Wynik ½ pochodzi z dzielenia w złą stronę.

4Metoda krok po kroku

  1. Podstaw liczbę. Zwykła liczba jest odpowiedzią.
  2. Jeśli dostaniesz 0/0, rozłóż licznik i mianownik na czynniki albo pomnóż przez sprzężenie, jeśli jest pierwiastek.
  3. Skróć wspólny czynnik i podstaw jeszcze raz.
  4. Jeśli x → ∞, podziel każdy składnik przez najwyższą potęgę x i pozwól, by składniki takie jak a/x dążyły do 0.
  5. Jeśli rozkład na czynniki nie działa (eˣ, sin, cos, ln), użyj reguły L’Hôpitala dla postaci 0/0 lub ∞/∞.
  6. Sprawdź na liczbie bardzo bliskiej punktowi, na przykład x = 1,001.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Znajdź L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Spróbuj podstawienia

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

To wyrażenie nieoznaczone 0/0, więc najpierw musisz uprościć.

2

Rozłóż licznik

8 = 2³, więc licznik jest sumą sześcianów z a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Skróć wspólny czynnik

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Wolno to zrobić, bo x tylko zbliża się do −2, więc x + 2 nigdy nie jest dokładnie 0.

4

Podstaw jeszcze raz

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Sprawdź wynik

Spróbuj x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, co jest bliskie 12.

xy−212

Wykres to parabola x² − 2x + 4 z dziurą w (−2, 12).

Odpowiedź

L = 12

6Typowe błędy

  • Zapisanie 0/0 jako odpowiedzi albo stwierdzenie, że granica nie istnieje. 0/0 oznacza: najpierw uprość.
  • Użycie reguły L’Hôpitala, gdy podstawienie nie daje 0/0 ani ∞/∞.
  • Użycie wzoru na pochodną ilorazu w regule L’Hôpitala. Różniczkuj licznik i mianownik osobno.
  • W nieskończoności porównywanie pierwszych zapisanych składników zamiast najwyższych potęg.
  • Używanie stopni zamiast radianów w granicach z sin lub cos.
Samosprawdzenie Ile wynosi limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Nie istnieje

Odpowiedź: 1. Podstawienie daje 2/2 = 1, zwykłą liczbę, więc to jest granica. Użycie tu reguły L’Hôpitala (2x/1 = 2) jest błędne, bo postać nie była 0/0.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: podstawianie bezpośrednie i rozkład na czynniki. Podstawienie daje 0/0, więc rozkładasz i skracasz, jak w przykładzie.
  • Średnie: granice w nieskończoności. Podziel przez najwyższą potęgę albo użyj sprzężenia dla pierwiastka, takiego jak √(x² + 4x) − x.
  • Trudne: reguła L’Hôpitala, na przykład (eˣ − 1 − x)/x² lub (1 − cos 3x)/x² przy x → 0. Możesz potrzebować reguły dwa razy.

Szybka kontrola: wstaw kalkulatorem liczbę bardzo bliską punktowi. Wynik powinien być bliski twojej odpowiedzi.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
xyx = 1

Oblicz granicę L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Oblicz L

Pokaż podpowiedzi
  1. Podstawienie daje 0/0. Rozłóż licznik na czynniki.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Spróbuj bezpośredniego podstawienia

licznik → 0 i mianownik → 0, więc mamy postać 0/0.

Rozłóż na czynniki i skróć

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Podstaw

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Odpowiedź

L = 4

To pochodna xⁿ w punkcie x = a: n·aⁿ⁻¹.

Przykład 2Średni
xyy = L

Oblicz granicę L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Podaj wartość dziesiętną.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Oblicz L

Pokaż podpowiedzi
  1. Mamy postać 1^∞. Zapisz L = e^(ln L) i wyznacz ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Dla małych u ln(1 + u) ≈ u. Tutaj u = 1/x.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Zlogarytmuj

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Oblicz

ln(1 + u)/u → 1 przy u → 0, więc x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Odwróć logarytm

L = e1 = 2,718

Odpowiedź

L = 2,718
Przykład 3Trudny
xyx = 0

Oblicz granicę L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Oblicz L

Pokaż podpowiedzi
  1. W x = 0: ln 1 = 0 i sin 0 = 0, więc mamy postać 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Podstaw x = 0 do f′/g′.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Reguła de l'Hospitala

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Podstaw x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Odpowiedź

L = 0,6667

Pytania i odpowiedzi

Granice: co to jest?

Granica opisuje wartość, do której funkcja się zbliża, gdy x zbliża się do pewnej liczby. Nie ma znaczenia, co dzieje się dokładnie w tej liczbie.

Weź f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Dla x = 1 dostajesz 0/0, co nie ma wartości. Ale możesz spróbować liczb bliskich 1.

Granice: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Granice: jakie błędy są najczęstsze?
  • Zachowaj każdy wyraz drugiego czynnika: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), a dla x = a wszystkie n wyrazów są równe.
  • Postać 1^∞ jest nieoznaczona, a nie równa 1. Najpierw weź logarytm naturalny.
  • Pochodną licznika zostaw w liczniku: lim f/g = lim f′/g′.
Granice: co ćwiczysz?
  • Łatwy: bezpośrednie podstawienie i rozkład na czynniki
  • Średni: granice w nieskończoności
  • Trudny: Reguła de l'Hospitala

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Potem przejdź do

PochodneCiągi i szeregi

Przedmioty z tym tematem

Analiza matematyczna 1Matematyka dla inżynierówZadania do ćwiczeń z AP Calculus

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

PochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Granice: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: GraniceĆwicz teraz: Granice5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.