Testy hipotez i przedziały ufności: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: weryfikacja hipotez statystycznych · test t-Studenta · p-wartość

Darmowe zadania z tematu Testy hipotez i przedziały ufności z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: statystyka z, statystyka t, przedziały ufności.

Darmowe zadanieŁatwy
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Dostawca twierdzi, że średnia wytrzymałość liny na zerwanie wynosi 50 kN; podejrzewasz, że jest wyższa. Odchylenie standardowe jest znane i wynosi 8 kN. Zbadasz próbę 25 lin i przetestujesz H₀: μ = 50 kN przeciw H₁: μ > 50 kN na poziomie α = 0,05. Powyżej jakiej średniej z próby x̄c odrzucisz H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Testy hipotez i przedziały ufnościĆwicz teraz: Testy hipotez i przedziały ufności5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwystatystyka z
  2. Średnistatystyka t
  3. Trudnyprzedziały ufności

Jak rozwiązywać zadania: Testy hipotez i przedziały ufności

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Typowe błędy

  • Użycie jednostronnej wartości krytycznej w teście dwustronnym.
  • Twierdzenie, że H₀ jest udowodniona, gdy nie została odrzucona.
  • Zapominanie o √n w błędzie standardowym.

Najważniejsze wzory

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Naucz się tematu Testy hipotez i przedziały ufności od zera

Wcześniej: Przedziały ufności

1Idea testu

Maszyna powinna napełniać butelki średnio 500 mL. Próba butelek ma średnią 496 mL. Czy maszyna się myli, czy to tylko przypadek?

Test hipotezy odpowiada na to pytanie za pomocą liczb. Zaczynasz od dwóch stwierdzeń:

  • Hipoteza zerowa H₀: nic się nie zmieniło. Tutaj H₀: μ = 500.
  • Hipoteza alternatywna H₁: to, co podejrzewasz. Tutaj H₁: μ ≠ 500 (dwustronna) albo μ < 500, jeśli obawiasz się tylko niedopełnienia (jednostronna).

Zakładasz, że H₀ jest prawdziwa, i pytasz: jak nietypowa jest ta próba? Jeśli byłaby bardzo nietypowa, odrzucasz H₀.

Samosprawdzenie Dostawca twierdzi, że jego rezystory mają średnio 220 Ω. Chcesz sprawdzić to twierdzenie. Czym jest H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Odpowiedź: μ = 220 Ω. H₀ to sprawdzane twierdzenie, dotyczące średniej populacji μ. Zapis μ ≠ 220 Ω to hipoteza alternatywna H₁, a hipoteza nigdy nie dotyczy średniej z próby x̄, którą już znasz.

2Statystyka testowa

Statystyka testowa mierzy, jak daleko średnia z próby leży od μ₀, wartości z H₀, w jednostkach błędu standardowego.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Użyj z, gdy znane jest odchylenie standardowe populacji σ. Gdy znane jest tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Wartość z lub t bliska 0 oznacza, że próba zgadza się z H₀. Duża wartość dodatnia lub ujemna oznacza, że próba jest daleko od μ₀.

Samosprawdzenie H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 i x̄ = 118. Ile wynosi z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Odpowiedź: −1. Błąd standardowy to 8/√16 = 2, więc z = (118 − 120)/2 = −1. Dzielenie przez σ = 8 zamiast przez σ/√n daje −0,25. Znak jest ujemny, ponieważ x̄ jest poniżej μ₀.

3Decyzja: wartości krytyczne i wartości p

Zanim spojrzysz na dane, wybierz poziom istotności α, zwykle 0,05. To ryzyko, które akceptujesz, że odrzucisz prawdziwą H₀.

Dla testu z przy α = 0,05:

  • Dwustronny (H₁: μ ≠ μ₀): odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96.
  • Jednostronny (H₁: μ > μ₀): odrzuć H₀, jeśli z > 1,645. Dla μ < μ₀: odrzuć, jeśli z < −1,645.

Wartość p to prawdopodobieństwo uzyskania wyniku co najmniej tak skrajnego, jeśli H₀ jest prawdziwa. Odrzuć H₀, gdy p < α.

Nieodrzucenie H₀ nie dowodzi jej prawdziwości. Oznacza tylko, że dane nie są wystarczająco mocnym dowodem przeciwko niej.

Test i przedział ufności są zgodne: test dwustronny na poziomie 5% odrzuca H₀ dokładnie wtedy, gdy μ₀ leży poza 95-procentowym przedziałem x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Samosprawdzenie Test z dwustronny przy α = 0,05 daje z = 1,8. Jaki wyciągasz wniosek?
  1. H₀ jest udowodniona
  2. Nie odrzucaj H₀
  3. Odrzuć H₀
  4. Odrzuć H₁ i przyjmij H₀ jako udowodnioną

Odpowiedź: Nie odrzucaj H₀. |1,8| jest mniejsze od 1,96, więc wynik nie jest istotny i H₀ nie zostaje odrzucona. Nie dowodzi to H₀; dowody są po prostu zbyt słabe.

4Metoda krok po kroku

  1. Sformułuj H₀ i H₁ oraz zdecyduj, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Wybierz z (σ znane) lub t (znane tylko s, df = n − 1).
  3. Oblicz błąd standardowy σ/√n lub s/√n.
  4. Oblicz statystykę testową (x̄ − μ₀) / błąd standardowy.
  5. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  6. Sformułuj wniosek słowami, odnosząc się do pytania.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Maszyna powinna napełniać butelki średnio 500 mL. σ = 12 mL. Próba 36 butelek ma średnią 496 mL. Zweryfikuj H₀: μ = 500 wobec H₁: μ ≠ 500 przy α = 0,05.

1

Hipotezy

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Test jest dwustronny, więc wartości krytyczne to ±1,96.

2

Błąd standardowy

σ jest znane, więc użyj z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Statystyka testowa

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Porównaj

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 jest większe od 1,96, więc z leży w zacienionym obszarze odrzucenia.

5

Sprawdź przedziałem

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

Wartość 500 leży poza 95-procentowym przedziałem, więc przedział prowadzi do tej samej decyzji.

Odpowiedź

z = −2. Odrzuć H₀ na poziomie 5%: średnie napełnienie maszyny różni się od 500 mL.

6Typowe błędy

  • Użycie wartości krytycznej jednostronnej (1,645) dla testu dwustronnego albo odwrotnie.
  • Twierdzenie, że H₀ jest udowodniona, gdy nie została odrzucona.
  • Zapominanie o √n w błędzie standardowym.
  • Zapisanie x̄ − μ₀ w odwrotnej kolejności, co zmienia znak z.
  • Używanie z, gdy dla małej próby znane jest tylko s z próby.
Samosprawdzenie Test jednostronny z H₁: μ > μ₀ przy α = 0,05 daje z = 1,8. Jaki wyciągasz wniosek?
  1. Nie odrzucaj H₀, ponieważ 1,8 < 1,96
  2. Nie odrzucaj H₀, ponieważ 1,8 < 2,576
  3. Odrzuć H₀, ponieważ 1,8 > 1,645
  4. Odrzuć H₀, ponieważ z jest dodatnie

Odpowiedź: Odrzuć H₀, ponieważ 1,8 > 1,645. Test jednostronny na poziomie 5% umieszcza całe 5% w jednym ogonie, więc wartość krytyczna wynosi 1,645. Porównanie z 1,96 błędnie używa wartości dwustronnej.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: statystyka z. σ jest znane; oblicz z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Średnie: statystyka t. Podano tylko odchylenie standardowe z próby s; oblicz t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Trudne: przedziały ufności. Znajdź dolną lub górną granicę x̄ ± z · σ/√n na poziomie 95% lub 99%.

Szybkie sprawdzenie: jeśli x̄ jest poniżej μ₀, statystyka testowa musi być ujemna.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
z −1,9601,96

Maszyna ma napełniać butelki średnio 100 mL. Odchylenie standardowe jest znane i wynosi 4 mL. Próba 81 butelek ma średnią 99,6 mL. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Oblicz z

Pokaż podpowiedzi
  1. Błąd standardowy średniej to odchylenie standardowe podzielone przez √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Potem podziel różnicę x̄ − μ₀ przez błąd standardowy. Zachowaj znak.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statystyka testowa

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Odpowiedź

z = −0,9

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

Przykład 2Średni
t −1,99801,998

Próba 64 studentów ma średni wynik 504,5 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Oblicz t

Pokaż podpowiedzi
  1. Błąd standardowy średniej to odchylenie standardowe podzielone przez √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Potem podziel różnicę x̄ − μ₀ przez błąd standardowy. Zachowaj znak.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statystyka testowa

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Odpowiedź

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

Przykład 3Trudny
z −2,57602,576

Próba 64 pomiarów ma średnią 80. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Oblicz L

Pokaż podpowiedzi
  1. Przedział ufności: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 dla 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Granica przedziału

L = 80 − 6,44 = 73,56

Odpowiedź

L = 73,56

Pytania i odpowiedzi

Testy hipotez i przedziały ufności: co to jest?

Maszyna powinna napełniać butelki średnio 500 mL. Próba butelek ma średnią 496 mL. Czy maszyna się myli, czy to tylko przypadek?

Zakładasz, że H₀ jest prawdziwa, i pytasz: jak nietypowa jest ta próba? Jeśli byłaby bardzo nietypowa, odrzucasz H₀.

Testy hipotez i przedziały ufności: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Testy hipotez i przedziały ufności: jakie błędy są najczęstsze?
  • Użycie jednostronnej wartości krytycznej w teście dwustronnym.
  • Twierdzenie, że H₀ jest udowodniona, gdy nie została odrzucona.
  • Zapominanie o √n w błędzie standardowym.
Testy hipotez i przedziały ufności: co ćwiczysz?
  • Łatwy: statystyka z
  • Średni: statystyka t
  • Trudny: przedziały ufności

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Przedziały ufności

Potem przejdź do

Testy chi-kwadrat

Kalkulatory

Kalkulator testu tKalkulator wartości pKalkulator jednoczynnikowej analizy wariancji (ANOVA)

Przedmioty z tym tematem

Metodologia badań i statystyka w psychologiiWstęp do statystykiStatystyka 2: Wnioskowanie statystyczneMedycyna oparta na dowodachZadania do ćwiczeń z AP StatisticsĆwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaRozkład normalnyPrzedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Testy hipotez i przedziały ufności: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Testy hipotez i przedziały ufnościĆwicz teraz: Testy hipotez i przedziały ufności5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.