Rozkład normalny: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: rozkład Gaussa · standaryzacja · krzywa Gaussa

Darmowe zadania z tematu Rozkład normalny z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: pole w jednym ogonie, pole między dwiema wartościami, percentyle.

Darmowe zadanieŁatwy
μ = 6567,5P = ?

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży powyżej 67,5 pkt? Wyznacz P(X > x) w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Rozkład normalnyĆwicz teraz: Rozkład normalny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwypole w jednym ogonie
  2. Średnipole między dwiema wartościami
  3. Trudnypercentyle

Jak rozwiązywać zadania: Rozkład normalny

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Typowe błędy

  • Odczytanie tablicy dla złego ogona.
  • Zapominanie o dzieleniu przez σ.
  • Odwrotny znak z dla percentyli poniżej 50%.

Najważniejsze wzory

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Naucz się tematu Rozkład normalny od zera

Wcześniej: Statystyka opisowa

1Krzywa dzwonowa

Wiele wielkości, takich jak wzrost, wyniki testów IQ czy masa paczek z maszyny, ma rozkład normalny. Większość wartości leży blisko środka, a wartości odległe są rzadkie.

Wykres to symetryczny dzwon. Ma dwie liczby: średnią μ, gdzie jest szczyt, oraz odchylenie standardowe σ, które określa szerokość.

7085100μ115130

Kluczowa idea: prawdopodobieństwo to pole pod krzywą. Całkowite pole wynosi 1. Zacieniowana lewa połowa ma pole 0,5, więc połowa wszystkich wartości leży poniżej średniej.

Około 68% wartości leży w odległości jednego σ od średniej, a około 95% w odległości dwóch σ.

Samosprawdzenie Masa paczek ma rozkład normalny ze średnią 500 g. Jaka część paczek waży mniej niż 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. To zależy od σ

Odpowiedź: 0,5. Krzywa jest symetryczna względem średniej, więc dokładnie połowa pola leży poniżej μ, niezależnie od σ. Wartość 0,68 to pole w odległości jednego σ po obu stronach.

2Wyniki z i tablica

Każdy rozkład normalny staje się tą samą krzywą standardowego rozkładu normalnego (średnia 0, σ = 1), gdy zamienisz wartość x na wynik standardowy z:

z = (x − μ) / σ

Tablica podaje Φ(z): pole po lewej stronie z. Na przykład Φ(1,2) = 0,8849, więc 88,49% wartości leży poniżej z = 1,2.

  • Poniżej x: P(X < x) = Φ(z).
  • Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z), ponieważ całkowite pole wynosi 1.
  • Dla ujemnego z: Φ(−z) = 1 − Φ(z), z symetrii. Zatem Φ(−1,2) = 0,1151.

Wartości, które często spotkasz: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Samosprawdzenie Φ(1,2) = 0,8849. Ile wynosi P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Odpowiedź: 0,1151. Tablica podaje pole po lewej. Pole po prawej to 1 − 0,8849 = 0,1151. Użycie wprost 0,8849 odczytuje zły ogon.

3Między dwiema wartościami i percentyle

Aby uzyskać pole między dwiema wartościami, odejmij dwa pola po lewej: wszystko poniżej wartości górnej minus wszystko poniżej wartości dolnej.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Percentyl działa w odwrotną stronę. 90. percentyl to wartość, po której lewej stronie leży 90% pola.

  • Znajdź z, dla którego Φ(z) jest równe polu. Dla 90% z = 1,2816. Dla 80% z = 0,8416.
  • Zamień z powrotem na x: x = μ + z · σ.

Dla percentyla poniżej 50% z jest ujemne. 10. percentyl ma z = −1,2816.

Samosprawdzenie Wyniki testów IQ mają rozkład normalny z μ = 100 i σ = 15. Wartość z dla 80. percentyla to 0,8416. Ile wynosi 80. percentyl?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Odpowiedź: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Użycie znaku minus daje 87,4, czyli 20. percentyl; wynik 100,8 pomija mnożenie przez σ.

4Metoda krok po kroku

  1. Naszkicuj krzywą dzwonową, zaznacz μ i wartość (wartości) oraz zacieniuj pole, o które pytają.
  2. Zamień każdą wartość na wynik standardowy: z = (x − μ)/σ.
  3. Odczytaj Φ(z), czyli pole na lewo.
  4. Poniżej: Φ(z). Powyżej: 1 − Φ(z). Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Dla percentyla idź wstecz: pole → z → x = μ + zσ.
  6. Porównaj ze szkicem: zacieniowane pole mniejsze niż połowa musi dać liczbę poniżej 0,5.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Wyniki testów IQ mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P leży między 91 a 121?

1

Naszkicuj pole

91x₁100121x₂

Zacieniowane pole obejmuje środek i więcej po prawej stronie. Oczekuj liczby nieco powyżej 0,5.

2

Dolny wynik standardowy

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Górny wynik standardowy

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Odczytaj oba pola

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Odejmij

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

To nieco więcej niż 0,5, jak przewidział szkic.

Odpowiedź

P ≈ 0,645: około 64,5% wyników leży między 91 a 121.

6Typowe błędy

  • Odczytanie złego ogona: użycie Φ(z), gdy pytają o pole powyżej x.
  • Zapomnienie o dzieleniu przez σ w wyniku standaryzowanym.
  • Dodanie dwóch pól po lewej dla przedziału zamiast ich odjęcia.
  • Użycie złego znaku z dla percentyla poniżej 50%.
  • Mylenie σ z wariancją σ². Dziel przez σ, czyli odchylenie standardowe.
Samosprawdzenie Wyniki egzaminu mają rozkład normalny z μ = 65 i σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Jaka część uzyskuje więcej niż 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Odpowiedź: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, a P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. Wartość 0,0668 to pole poniżej 50: zły ogon. Większość studentów uzyskuje więcej niż 50, więc odpowiedź musi być duża.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: pole w jednym ogonie. Znajdź P(X < x) lub P(X > x) z jednym wynikiem z.
  • Średnie: pole między dwiema wartościami, Φ(z₂) − Φ(z₁), jak w przykładzie.
  • Trudne: percentyle. Znajdź wartość, poniżej której leży 80% lub 90% danych.

Zawsze zaczynaj od szkicu. Dziesięciosekundowy szkic wychwytuje większość błędów z ogonami.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
μ = 3236,8P = ?

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży powyżej 36,8 min? Wyznacz P(X > x) w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Oblicz P(X > x)

Pokaż podpowiedzi
  1. Zamień na wynik z: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Pole na prawo to 1 − Φ(z).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wynik z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Odpowiedź

P = 0,2119

To 21,19%.

Przykład 2Średni
750 g769,7 gX + Y?

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 769,7 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Oblicz P

Pokaż podpowiedzi
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Górny ogon

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275
Przykład 3Trudny
μ = 178x = ?20%

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).

μ = 178σ = 7P = 20%

Oblicz x (cm)

Pokaż podpowiedzi
  1. Licz wstecz: znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Następnie x = μ + z·σ.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Powrót do x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Odpowiedź

x = 172,11 cm

Pytania i odpowiedzi

Rozkład normalny: co to jest?

Wiele wielkości, takich jak wzrost, wyniki testów IQ czy masa paczek z maszyny, ma rozkład normalny. Większość wartości leży blisko środka, a wartości odległe są rzadkie.

Wykres to symetryczny dzwon. Ma dwie liczby: średnią μ, gdzie jest szczyt, oraz odchylenie standardowe σ, które określa szerokość.

Rozkład normalny: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Rozkład normalny: jakie błędy są najczęstsze?
  • Odczytanie tablicy dla złego ogona.
  • Zapominanie o dzieleniu przez σ.
  • Odwrotny znak z dla percentyli poniżej 50%.
Rozkład normalny: co ćwiczysz?
  • Łatwy: pole w jednym ogonie
  • Średni: pole między dwiema wartościami
  • Trudny: percentyle

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Statystyka opisowa

Potem przejdź do

Przedziały ufności

Kalkulatory

Kalkulator wyniku z i prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnymKalkulator rozkładu normalnego

Przedmioty z tym tematem

Metodologia badań i statystyka w psychologiiWstęp do statystykiMatematyka dla inżynierówStatystyka 2: Wnioskowanie statystycznePrzygotowanie do egzaminu FE CivilZadania do ćwiczeń z AP StatisticsĆwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I

Więcej tematów: Matematyka i statystyka

GranicePochodneOptymalizacjaCałkiCiągi i szeregiRachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychRównania różniczkoweLiczby zespoloneMetody numeryczneMacierze i wyznacznikiWektory: iloczyn skalarny i wektorowyRachunek zdań i dowodyZbiory, relacje i funkcjeTeoria grafówTeoria liczb i arytmetyka modularnaPrawdopodobieństwoStatystyka opisowaPrzedziały ufnościTesty hipotez i przedziały ufnościRegresja liniowa i korelacjaTesty chi-kwadrat

Karta pracy do druku

Rozkład normalny: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Rozkład normalnyĆwicz teraz: Rozkład normalny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.