Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Oblicz I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx.
Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 1 − x² a osią x.
Znajdź sumę S = Σk=1∞ 4/(k(k + 3)).
Znajdź współczynnik c₃ przy (x − 1)³ w szeregu Taylora funkcji f(x) = e3x w punkcie a = 1.
Dla f(x, y) = 2x³y² + x³ + 2y³ − xy znajdź największą szybkość zmiany f w punkcie (−1, 1), czyli |∇f|.
Całki I = ∫00,8 ∫x0,8 sin(y²) dy dx nie da się obliczyć w tej kolejności. Odwróć kolejność całkowania i oblicz ją.
Puszkę napoju o temperaturze 4 °C wyjęto z lodówki do pokoju o temperaturze 23 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,09 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 28 min.
Zbiornik zawiera 100 L wody, w której rozpuszczono 5 kg soli. Solanka zawierająca 0,25 kg soli na litr wpływa z natężeniem 2 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Po ilu minutach t zbiornik będzie zawierał 15 kg soli?
Odpowiedź: I = 156
Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.
Odpowiedź: A = 1,333
Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.
Odpowiedź: S = 2,444
Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.
Odpowiedź: c₃ = 90,38
Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.
Odpowiedź: |∇f| = 8,544
Gradient: ∇f = (fx, fy) wskazuje kierunek najszybszego wzrostu, a |∇f| to największa szybkość zmiany. Pochodna kierunkowa wzdłuż kierunku v to Duf = ∇f·u z wektorem jednostkowym u = v/|v|. Płaszczyzna styczna w (a, b) to z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); daje liniowe przybliżenie f w pobliżu tego punktu. Reguła łańcuchowa: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Odpowiedź: I = 0,09895
Punkty krytyczne i całki podwójne: punkt krytyczny ma fx = fy = 0. Test drugiej pochodnej z D = fxxfyy − fxy²: D > 0 i fxx > 0 to minimum lokalne, D > 0 i fxx < 0 maksimum lokalne, D < 0 punkt siodłowy, a D = 0 nic nie rozstrzyga. Dla całki podwójnej po obszarze ogólnym granice wewnętrzne wyznaczają krzywe ograniczające obszar; dla kół i wycinków użyj współrzędnych biegunowych, x = r cos θ, y = r sin θ oraz dA = r dr dθ (nie zapomnij o czynniku r).
Odpowiedź: T = 21,47 °C
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
Odpowiedź: t = 34,66 min
Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2