Analiza matematyczna 2: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

  1. Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
  2. Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
  3. Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
  4. Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Pochodna kierunkowa
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Płaszczyzna styczna
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Reguła łańcuchowa
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test drugiej pochodnej
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Całka podwójna
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Współrzędne biegunowe
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metoda

  1. Przy pochodnej cząstkowej traktuj drugą zmienną jak stałą i używaj reguł dla jednej zmiennej.
  2. W zadaniach o gradiencie oblicz ∇f = (fx, fy) w punkcie; użyj |∇f| dla największego nachylenia i ∇f·u z wektorem jednostkowym u dla pochodnej kierunkowej.
  3. Dla ekstremów rozwiąż jednocześnie fx = 0 i fy = 0, a potem sklasyfikuj każdy punkt przez D = fxx·fyy − fxy².
  4. Dla całki podwójnej naszkicuj obszar, wybierz kolejność (lub współrzędne biegunowe dla kół), aby granice wewnętrzne były krzywymi ograniczającymi, i całkuj najpierw wewnątrz.

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.CałkiŚredni
xy02

Oblicz I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
2.CałkiTrudny
xy−33

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²
A =
3.Ciągi i szeregiŚredni
AΣ (5/4)ᵏk = 1 … ∞BΣ (k + 1)/k²k = 1 … ∞CΣ k/2ᵏk = 1 … ∞DΣ (1 + 1/k)ᵏk = 1 … ∞

Dokładnie jeden z czterech szeregów jest zbieżny. Kliknij go.

A: Σ (5/4)ᵏB: Σ (k + 1)/k²C: Σ k/2ᵏD: Σ (1 + 1/k)ᵏ
  1. 1A: Σ (5/4)ᵏ
  2. 2B: Σ (k + 1)/k²
  3. 3C: Σ k/2ᵏ
  4. 4D: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4.Ciągi i szeregiTrudny

Funkcję f(x) = sin x przybliżono w x = 2 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 1 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychŚredni
xy11∇fP

Dla f(x, y) = xy + x³ − 5y² znajdź największą szybkość zmiany f w punkcie (1, 1), czyli |∇f|.

f(x, y) = xy + x³ − 5y²P = (1, 1)
|∇f| =
6.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychTrudny
xyx = 3y = 0,5x31,5

Oblicz I = ∬T (4x + 4y) dA po trójkącie T ograniczonym przez y = 0, x = 3 i y = 0,5x.

f = 4x + 4y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 0,5x
I =
7.Równania różniczkoweŚredni
t (min)T (°C)26Ta​T = ?

Filiżankę kawy o temperaturze 82 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 18 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Przy k = 0,07 min⁻¹ wyznacz jej temperaturę T po 26 min.

T0 = 82 °CTa = 18 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 26 min
T = °C
8.Równania różniczkoweTrudny
t (min)m (kg)t = ?38 kg

Zbiornik zawiera 400 L wody, w której rozpuszczono 10 kg soli. Solanka zawierająca 0,2 kg soli na litr wpływa z natężeniem 4 L/min, a dobrze wymieszany roztwór wypływa z tym samym natężeniem. Po ilu minutach t zbiornik będzie zawierał 38 kg soli?

V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
t = min

3Roztwory

1.Całki

Odpowiedź: I = 41,33

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41,33

Odpowiedź

I = 41,33
2.Całki

Odpowiedź: A = 36

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36
3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: C: Σ k/2ᵏ

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Zbadaj każdy szereg

A: Σ (5/4)ᵏ → Geometryczny z r = 5/4 > 1: wyrazy rosną, więc jest rozbieżny.
B: Σ (k + 1)/k² → Dla dużych k zachowuje się jak 1/k: rozbieżny na mocy porównania z szeregiem harmonicznym.
C: Σ k/2ᵏ → Kryterium d’Alemberta: L = 1/2 < 1, zbieżny.
D: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Wyrazy dążą do e, a nie do 0: rozbieżny na mocy warunku koniecznego.

Odpowiedź

C: Σ k/2ᵏ

Odpowiedź

C: Σ k/2ᵏ
4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: n = 11

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

n(n + 1)!oszacowanie012122261,3333240,666741200,266757200,08889650400,02547403200,00634983628800,001411936288000,000282210399168005,131 × 10⁻⁵114790016008,551 × 10⁻⁶

Oszacowania dla rosnących n

n = 10: 5,131 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 11: 8,551 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Najmniejszy stopień

n = 11

Odpowiedź

n = 11
5.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Odpowiedź: |∇f| = 9,849

Gradient: ∇f = (fx, fy) wskazuje kierunek najszybszego wzrostu, a |∇f| to największa szybkość zmiany. Pochodna kierunkowa wzdłuż kierunku v to Duf = ∇f·u z wektorem jednostkowym u = v/|v|. Płaszczyzna styczna w (a, b) to z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); daje liniowe przybliżenie f w pobliżu tego punktu. Reguła łańcuchowa: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Pochodne cząstkowe

fx = y + 3x² → fx(1, 1) = 4
fy = x − 10y → fy(1, 1) = −9

Długość gradientu

|∇f| = √(4² + (−9)²) = 9,849

Odpowiedź

|∇f| = 9,849
6.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Odpowiedź: I = 22,5

Punkty krytyczne i całki podwójne: punkt krytyczny ma fx = fy = 0. Test drugiej pochodnej z D = fxxfyy − fxy²: D > 0 i fxx > 0 to minimum lokalne, D > 0 i fxx < 0 maksimum lokalne, D < 0 punkt siodłowy, a D = 0 nic nie rozstrzyga. Dla całki podwójnej po obszarze ogólnym granice wewnętrzne wyznaczają krzywe ograniczające obszar; dla kół i wycinków użyj współrzędnych biegunowych, x = r cos θ, y = r sin θ oraz dA = r dr dθ (nie zapomnij o czynniku r).

Granice

0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 0,5x

Całka wewnętrzna

∫00,5x (4x + 4y) dy = 4x·0,5x + 4·(0,5x)²/2 = 2,5x²

Całka zewnętrzna

I = 2,5·3³/3 = 22,5

Odpowiedź

I = 22,5
7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: T = 28,37 °C

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Rozwiązanie prawa stygnięcia

T(t) = 18 + 64·e−0,07t

Podstaw t

T(26) = 18 + 64·0,162 = 28,37 °C

Odpowiedź

T = 28,37 °C
8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: t = 51,08 min

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Wynik

m(t) = 80 + (−70)·e−t/100

Wyznacz t

e−t/100 = (80 − 38)/(80 − 10) = 0,6
t = 100·ln(1,667) = 51,08 min

Odpowiedź

t = 51,08 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2