Analiza matematyczna 2: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Całki

Pochodna potęgi
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi
∫ab (f − g) dx

Metoda

  1. Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
  2. Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla ex, 1/x, sin i cos.
  3. Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
  4. Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności
R = lim |ck/ck+1|
Wielomian Taylora
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

  1. Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
  2. Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
  3. Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
  4. Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Pochodna kierunkowa
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Płaszczyzna styczna
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Reguła łańcuchowa
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test drugiej pochodnej
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Całka podwójna
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Współrzędne biegunowe
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Metoda

  1. Przy pochodnej cząstkowej traktuj drugą zmienną jak stałą i używaj reguł dla jednej zmiennej.
  2. W zadaniach o gradiencie oblicz ∇f = (fx, fy) w punkcie; użyj |∇f| dla największego nachylenia i ∇f·u z wektorem jednostkowym u dla pochodnej kierunkowej.
  3. Dla ekstremów rozwiąż jednocześnie fx = 0 i fy = 0, a potem sklasyfikuj każdy punkt przez D = fxx·fyy − fxy².
  4. Dla całki podwójnej naszkicuj obszar, wybierz kolejność (lub współrzędne biegunowe dla kół), aby granice wewnętrzne były krzywymi ograniczającymi, i całkuj najpierw wewnątrz.

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy
dy/dt = ky → y = y0ekt
Okres połowicznego rozpadu
k = ln 2 / t½
Prawo stygnięcia Newtona
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Czynnik całkujący
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Zadania do ćwiczenia

1.CałkiŚredni
xy14

Oblicz I = ∫14 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 4]
I =
2.CałkiTrudny
xyy = 2x2​y = 3x

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x2 i y = 3x.

y = 2x2y = 3x
A =
3.Ciągi i szeregiŚredni
kSn​12345678910

Znajdź sumę S = Σk=131 5/(k(k + 1)).

ak = 5/(k(k + 1))n = 31
S =
4.Ciągi i szeregiTrudny

Funkcję f(x) = eˣ przybliżono w x = 2 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 8 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 0,0001.

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,0001
n =
5.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychŚredni

z = −2xe−y, gdzie x = 3t − 1 i y = t². Użyj reguły łańcuchowej, aby znaleźć dz/dt dla t = 0.

z = −2xe−yx = 3t − 1y = t²t = 0
dz/dt =
6.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennychTrudny
xy−505−4−202AB

Zaznaczone punkty to punkty krytyczne funkcji f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4y. Kliknij maksimum lokalne.

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4y
  1. 1A (−3, −2)
  2. 2B (3, −2)
7.Równania różniczkoweŚredni
t (min)T (°C)27Ta​36 °C

Filiżankę kawy o temperaturze 95 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 21 °C. Po 27 min jej temperatura wynosi 36 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.

T0 = 95 °CTa = 21 °CT(27) = 36 °C
k = min⁻¹
8.Równania różniczkoweTrudny
xy13(1, 4)y(3) = ?

Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + 3y/x = 5x2 dla x > 0, z y(1) = 4. Wyznacz y(3).

y′ + 3y/x = 5x2y(1) = 4
y(3) =

3Roztwory

1.Całki

Odpowiedź: I = 5,545

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = 4·ln x

Podstaw granice

I = 4·(ln 4 − ln 1) = 4·ln 4 = 5,545

Odpowiedź

I = 5,545
2.Całki

Odpowiedź: A = 1,125

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Punkty przecięcia

2x2 = 3x → x = 0, x = 1,5

Całkuj górną minus dolną

A = [1,5x2 − 0,6667x3]01,5 = 1,125

Odpowiedź

A = 1,125
3.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: S = 4,844

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |ak+1/ak|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |ak|1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σck(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |ck/ck+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Ułamki proste

5/(k(k + 1)) = 5·(1/k − 1/(k + 1))

Anuluj

S = 5·(1 − 1/32) = 4,844

Odpowiedź

S = 4,844
4.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: n = 11

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

n(n + 1)!oszacowanie011612162610,673245,33341202,13357200,7111650400,20327403200,0507983628800,01129936288000,00225710399168000,0004105114790016006,841 × 10⁻⁵

Oszacowania dla rosnących n

n = 10: 0,0004105 ≥ 0,0001
n = 11: 6,841 × 10⁻⁵ < 0,0001

Najmniejszy stopień

n = 11

Odpowiedź

n = 11
5.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Odpowiedź: dz/dt = −6

Gradient: ∇f = (fx, fy) wskazuje kierunek najszybszego wzrostu, a |∇f| to największa szybkość zmiany. Pochodna kierunkowa wzdłuż kierunku v to Duf = ∇f·u z wektorem jednostkowym u = v/|v|. Płaszczyzna styczna w (a, b) to z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); daje liniowe przybliżenie f w pobliżu tego punktu. Reguła łańcuchowa: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Punkt i szybkości zmian

x(0) = −1, y(0) = 0
dx/dt = 3, dy/dt = 2t = 0

Pochodne cząstkowe

fx = −2·e−y = −2
fy = 2xe−y = −2

Reguła łańcuchowa

dz/dt = (−2)·3 + (−2)·0 = −6

Odpowiedź

dz/dt = −6
6.Rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych

Odpowiedź: B (3, −2)

Punkty krytyczne i całki podwójne: punkt krytyczny ma fx = fy = 0. Test drugiej pochodnej z D = fxxfyy − fxy²: D > 0 i fxx > 0 to minimum lokalne, D > 0 i fxx < 0 maksimum lokalne, D < 0 punkt siodłowy, a D = 0 nic nie rozstrzyga. Dla całki podwójnej po obszarze ogólnym granice wewnętrzne wyznaczają krzywe ograniczające obszar; dla kół i wycinków użyj współrzędnych biegunowych, x = r cos θ, y = r sin θ oraz dA = r dr dθ (nie zapomnij o czynniku r).

Punkty krytyczne

Rozwiąż jednocześnie fx = 0 i fy = 0.

fx = −(3x² − 27) = 0
fy = −(2y + 4) = 0
(3, −2), (−3, −2)

Test drugiej pochodnej

(3, −2): fxx = −18, fyy = −2, fxy = 0, D = 36 → maksimum lokalne
(−3, −2): fxx = 18, fyy = −2, fxy = 0, D = −36 → punkt siodłowy

Punkt

B (3, −2): maksimum lokalne

Odpowiedź

B (3, −2)
7.Równania różniczkowe

Odpowiedź: k = 0,05911 min⁻¹

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stosunek różnic temperatur

e−27k = 15/74

Wyznacz k

k = ln(74/15)/27 = 0,05911 min⁻¹

Odpowiedź

k = 0,05911 min⁻¹
8.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(3) = 22,62

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·ekt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Czynnik całkujący

μ = e∫3/x dx = x3

Całkuj

(x3y)′ = 5x5 → x3y = 5x6/6 + C

Warunek początkowy

4 = 5/6 + C → C = 3,167

Oblicz

y(3) = (5·36/6 + 3,167)/33 = 22,62

Odpowiedź

y(3) = 22,62

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2