Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 3 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €50 0004,8% / 12n = 3

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €5 000 przy 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €75 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €5 000A = €755,4% / 12

N = raty

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €7 000, €9 000, €10 000, €12 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 000CF₃ = 10 000CF₄ = 12 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 500, €18 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 18 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 7 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 8%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 6%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 6,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 7y₀ = 6%y₁ = 6,5%

HPR = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €925. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 5P = €925

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €53,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 9,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 51, 45, 48, 33, 36.

n = 6

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 95.

μ = 70σ = 20x = 95

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 14 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 14k = 5

N =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €4 z prawdopodobieństwem 0,1 i €20 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€4: p = 0,1€20: p = 0,02

E(G) = €

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8969. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8969

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 89 i odchylenie standardowe s = 6,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 9x̄ = 89s = 6,595%t(8) = 2,306

dolna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 26E = 499%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 8 uczniów, średni wynik 55, odchylenie standardowe 2. Grupa 2: 6 uczniów, średni wynik 57,4, odchylenie standardowe 9,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 8x̄₁ = 55s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 57,4s₂ = 9,5

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 100 pomiarów ma średnią 102,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 102,6σ = 10n = 10099%

U =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (6, 90). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(6, 90)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 43307 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·3 = 36

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,155 = €43 306,82

Odpowiedź

PV = €43 306,82

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 80 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,0045/75 = 0,7

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,7)/ln(1,004) = 79,44

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

79 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 80

Odpowiedź

N = 80 raty

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −3672 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 7 000/1,15 = 6 086,96

CF₂/(1 + 0,15)² = 9 000/1,322 = 6 805,29

CF₃/(1 + 0,15)³ = 10 000/1,521 = 6 575,16

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 12 000/1,749 = 6 861,04

Zsumuj

NPV = €−3 671,55

Odpowiedź

NPV = €−3 671,55

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 30,64 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 177,51

NPV(35%) = −1 145,40

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·177,51/(177,51 − (−1 145,40)) = 30,67%

dokładnie: NPV(30,64%) = 0 → IRR = 30,64%

Odpowiedź

IRR = 30,64%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 3,685 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €80,00, i = 0,06, N = 7

€80,00·(1 − 0,6651)/0,06 + €1 000·0,6651 = €446,59 + €665,06 = €1 111,65

Cena sprzedaży

C = €80,00, i = 0,065, N = 6

€80,00·(1 − 0,6853)/0,065 + €1 000·0,6853 = €387,28 + €685,33 = €1 072,62

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (80 + 1 072,62 − 1 111,65)/1 111,65 = 3,685%

Odpowiedź

HPR = 3,685%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 9,977 %

Równanie dla rentowności

€925 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18

YTM = 9,977%

Odpowiedź

YTM = 9,977%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,912 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·13% + 0,375·3%·(1 − 0,3) = 8,912%

Odpowiedź

WACC = 8,912%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 14,68 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€53,50 = €267 500 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·7% = 15,1%

Wagi

V = €277 100 000, E/V = 0,9654, D/V = 0,03464

WACC

WACC = 0,9654·15,1% + 0,03464·4%·(1 − 0,28) = 14,68%

Odpowiedź

WACC = 14,68%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,892

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 242/6 = 40,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−11,33)² + 10,67² + 4,667² + 7,667² + (−7,333)² + (−4,333)² = 395,3

Odchylenie standardowe

s = √(395,3/5) = 8,892

Odpowiedź

s = 8,892

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (95 − 70)/20 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 2002

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

Odpowiedź

N = 2002

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −0,2 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 3 (p = 0,1), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)

Wartość oczekiwana

E(G) = 3·0,1 + 19·0,02 − 1·0,88 = −0,2 €

Odpowiedź

E(G) = −0,2 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,63

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,8969)/2 = 0,9484

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9484 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,63

Odpowiedź

z = 1,63

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaryzuj

z = (0 − 10)/10 = −1

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 84

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Margines błędu

E = 2,306·6,5/√9 = 4,996

Przedział

89 ± 4,996 → [84, 94]

Odpowiedź

dolna granica = 84

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 281

Wyznacz n

n = (2,576·26/4)² = 280,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 281

Odpowiedź

n = 281

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,7032

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (7·2² + 5·9,5²)/12 = 39,94

s_p = 6,32

Błąd standardowy

SE = 6,32·√(1/8 + 1/6) = 3,413

Statystyka testowa

t = (55 − 57,4)/3,413 = −0,7032

Odpowiedź

t = −0,7032

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 105,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 2,576·10/√100 = 2,576

Granica przedziału

U = 102,6 + 2,576 = 105,2

Odpowiedź

U = 105,2

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9803

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 481/6 = 80,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 403

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2367

Współczynnik determinacji

r² = 403²/(70·2367) = 0,9803

Odpowiedź

r² = 0,9803

Około 98,03% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 1,833

Średnie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 529/6 = 88,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 481

Prosta regresji

b = 481/70 = 6,871

a = 88,17 − 6,871·6 = 46,94

ŷ = 46,94 + 6,871·x

Wartość przewidywana

ŷ = 46,94 + 6,871·6 = 88,17

Reszta

e = 90 − 88,17 = 1,833

Odpowiedź

e = 1,833

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income