Renta wypłaca €2 000 na koniec każdego roku przez 9 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €2 000i = 10%n = 9
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €30 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 3 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €30 0004,8% / 12N = 36
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €80 000. Przynosi €20 000 na koniec każdego roku przez 4 lat, a potem można ją sprzedać za €20 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €80 000CF = €20 000S = €20 000n = 4r = 8%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €17 000, €13 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 13 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 13 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €551, gdy rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 13P = €551YTM = 9%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 5 lat. Rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 3%n = 5YTM = 5,5%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 0,9 ma wymaganą stopę zwrotu 8,95%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 4%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 0,9re = 8,95%rf = 4%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €8 000 000 i koszcie 10%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 11 lat do wykupu), notowanych po €957 za sztukę. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 39, 25, 11, 25, 45, 23.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 210?
μ = 170σ = 20x = 210
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,25, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 5 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?
n = 5p = 0,5k = 4
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0465. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,0465
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 69,5 h, znane odchylenie standardowe 14 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 83 h, znane odchylenie standardowe 19 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 29. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?
σ = 29E = 0,599%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 101 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101s = 12n = 64
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 20E = 1,590%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3,5, 19). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 19)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 11518 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4241)/0,1 = 5,759
Wartość bieżąca
PV = 2 000·5,759 = €11 518,05
Odpowiedź
PV = €11 518,05
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: I = 2272 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,004, N = 36
A = 30 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−36) = €896,44
Łączne odsetki
I = N·A − P = 36·896,4 − 30 000 = €2 271,68
Odpowiedź
I = €2 271,68
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 943,1 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
20 000·3,312 = 66 242,54
Wartość bieżąca wartości końcowej
20 000/1,36 = 14 700,60
NPV
NPV = −80 000 + 66 242,54 + 14 700,60 = €943,13
Odpowiedź
NPV = €943,13
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 13,72 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(10%) = 1 198,35
NPV(15%) = −387,52
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,09)−13 = €326,18
Kupon
C = (551 − 326,18)/7,487 = €30,03
Oprocentowanie kuponu
c = 30,03/1000 = 3,003%
Odpowiedź
c = 3,003%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 4,698 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 30/1,055 = 28,44, t·PV = 28,44
t = 2: 30/1,113 = 26,95, t·PV = 53,91
t = 3: 30/1,174 = 25,55, t·PV = 76,65
t = 4: 30/1,239 = 24,22, t·PV = 96,87
t = 5: 1030/1,307 = 788,09, t·PV = 3 940,44
Duration
P = 893,24
D = 4 196,30/893,24 = 4,698
Odpowiedź
D = 4,698 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 9,5 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (8,95% − 4%)/0,9 = 5,5%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Odpowiedź
rm = 9,5%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,678 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 0,9275
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,1 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,85
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,35
Wariancja
Var(X) = 4,35 − 1,85² = 0,9275
Odpowiedź
Var(X) = 0,9275
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1563
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 4) = 5·0,54·0,51 = 5·0,0625·0,5 = 0,1563
Odpowiedź
P = 0,1563
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,68
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,0465 = 0,9535
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9535 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,68
Odpowiedź
z = 1,68
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 551,3 h
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Powrót do x
x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h
Odpowiedź
x = 551,26 h
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 7,088 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 69,5 − 83 = −13,5
Błąd standardowy
SE = √(14²/30 + 19²/30) = 4,309
Margines błędu
E = 1,645·4,309 = 7,088
Odpowiedź
E = 7,088 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 22323
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·29/0,5)² = 22323
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 22323
Odpowiedź
n = 22323
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 0,6667
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Statystyka testowa
t = (101 − 100)/1,5 = 0,6667
Odpowiedź
t = 0,6667
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 482
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·20/1,5)² = 481,1
Zaokrąglij w górę
n = 482
Odpowiedź
n = 482
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9328
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 304/5 = 60,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23
Syy = Σ(y − ȳ)² = 60,8
Współczynnik korelacji
r = 23/√(10·60,8) = 0,9328
Odpowiedź
r = 0,9328
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −2,3
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Prosta regresji
b = −22/10 = −2,2
a = 22,4 − (−2,2)·3 = 29
ŷ = 29 − 2,2·x
Wartość przewidywana
ŷ = 29 + (−2,2)·3,5 = 21,3
Reszta
e = 19 − 21,3 = −2,3
Odpowiedź
e = −2,3
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.