Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €2 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 4,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €2 000g = 2,5%r = 4,5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €5 000 przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €100 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €5 000A = €1006% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €35 000, €21 000, €36 000. Koszt kapitału wynosi 9 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €7 000, €6 000, €10 500 na koniec lat od 1 do 4. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 8 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Kupujesz obligację z 6 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 3%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 6y0 = 3%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 3 lat. Kosztuje €974. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 7% (2×)n = 3P = €974
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 2 ma wymaganą stopę zwrotu 12%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 2re = 12%rf = 1%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 1 000 000 akcji po €49,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 9%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 9%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 12, 22, 52, 12, 41, 13, 13.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 55.
μ = 60σ = 5x = 55
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €10. Wygrywasz €30 z prawdopodobieństwem 0,2 i €100 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €10€30: p = 0,2€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 5 z nich będzie mniejsza niż 123,9 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5< 123.9 kg
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).
μ = 100σ = 15P = 25%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 148,5 h, znane odchylenie standardowe 19 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 141,5 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Średnice 21 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,8 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 20 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 9,591, a 2,5 % powyżej 34,17.
n = 21s = 1,8 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 81 studentów ma średni wynik 503,9 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,9s = 12n = 81
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 4E = 0,599%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 21Σy = 142Σx² = 91Σy² = 3404Σxy = 474
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 13). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(3, 13)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 100000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,005/100 = 0,75
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,75)/ln(1,005) = 57,68
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
57 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 58
Odpowiedź
N = 58 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 2584 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 35 000/1,09 = 32 110,09
CF2/(1 + 0,09)2 = 21 000/1,188 = 17 675,28
CF3/(1 + 0,09)3 = 36 000/1,295 = 27 798,61
Zsumuj
NPV = €2 583,98
Odpowiedź
NPV = €2 583,98
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 18,65 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
11 500·1,083 = 14 486,69
7 000·1,082 = 8 164,80
6 000·1,081 = 6 480,00
10 500·1,080 = 10 500,00
TV = 39 631,49
MIRR
MIRR = (39 631,49/20 000)1/4 − 1 = 18,65%
Odpowiedź
MIRR = 18,65%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 0,7972 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €35,00, N = 6
Rozwiąż numerycznie
i = 3,996% na półrocze
YTM
YTM = 2·3,996% = 7,992%
Odpowiedź
YTM = 7,992%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 6,5 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (12% − 1%)/2 = 5,5%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 1% + 5,5% = 6,5%
Odpowiedź
rm = 6,5%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,6 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (55 − 60)/5 = −1
Odpowiedź
z = −1
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 0,8047
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Wariancja
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Odpowiedź
σ = 0,8047
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = −2 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 20 (p = 0,2), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)
Wartość oczekiwana
E(G) = 20·0,2 + 90·0,02 − 10·0,78 = −2 €
Odpowiedź
E(G) = −2 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,1635
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 125 kg, σT = 0,5·√5 = 1,118 kg
Standaryzuj
z = (123,9 − 125)/1,118 = −0,98
Prawdopodobieństwo
P = Φ(−0,98) = 0,1635
Odpowiedź
P = 0,1635
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 89,88 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Powrót do x
x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 pkt
Odpowiedź
x = 89,88 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 5,458 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 148,5 − 141,5 = 7
Błąd standardowy
SE = √(19²/50 + 4²/30) = 2,784
Margines błędu
E = 1,96·2,784 = 5,458
Odpowiedź
E = 5,458 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 1,377 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 20·1,8² = 64,8
Granice dla σ²
64,8/34,17 = 1,896
64,8/9,591 = 6,756
Granica dla σ
σ = √1,896 = 1,377 µm
Odpowiedź
σ = 1,377 µm
Przedział 95 % dla σ: [1,377, 2,599] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,925
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333
Statystyka testowa
t = (503,9 − 500)/1,333 = 2,925
Odpowiedź
t = 2,925
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 425
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·4/0,5)² = 424,7
Zaokrąglij w górę
n = 425
Odpowiedź
n = 425
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,8352
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 474 − 21·142/6 = −23
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 3404 − 142²/6 = 43,33
Współczynnik korelacji
r = −23/√(17,5·43,33) = −0,8352
Odpowiedź
r = −0,8352
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 1,838
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 152/6 = 25,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248
Prosta regresji
b = 248/70 = 3,543
a = 25,33 − 3,543·7 = 0,5333
ŷ = 0,5333 + 3,543·x
Wartość przewidywana
ŷ = 0,5333 + 3,543·3 = 11,16
Reszta
e = 13 − 11,16 = 1,838
Odpowiedź
e = 1,838
Punkt leży nad prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.