Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 19,5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 19,5%m = 4
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 8 lat chcesz mieć €20 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €20 0006% / 12N = 96
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €50 000, działa przez 9 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €50 000M = €5 000n = 9r = 12%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 500, €11 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 12 500CF2 = 11 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 6 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 4%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 6y0 = 4%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €1 090. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 8P = €1 090
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €6 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €2 000 000 i długiem o wartości €4 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt akcji uprzywilejowanych 8%, a koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €26,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 7,5%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 52, 60, 28, 52, 59, 49.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 102.
μ = 100σ = 5x = 102
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 5 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
5 / 4
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?
n = 6p = 0,25k = 2
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 769,7 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 80% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
U 13 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 0,5 i odchylenie standardowe 7,6. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 13d̄ = 0,5sd = 7,699%t(12) = 3,055
E = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,15 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,02?
p ≈ 0,15E = 0,0299%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 81 studentów ma średni wynik 52,83 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,83s = 15n = 81
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 502,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 502,8σ = 20n = 2590%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 64?
n = 6ŷ = 64
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 20,97 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,195/4 = 0,04875
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,04875)4 − 1 = 1,21 − 1 = 20,97%
Odpowiedź
EAR = 20,97%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 162,8 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,12−9)/0,12 = 5,328
Zannualizowana cena zakupu
50 000/5,328 = 9 383,94
EAC
EAC = 9 383,94 + 5 000 = €14 383,94
Odpowiedź
EAC = €14 383,94
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 13,27 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(10%) = 867,77
NPV(15%) = −434,78
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 10 + 5·867,77/(867,77 − (−434,78)) = 13,33%
dokładnie: NPV(13,27%) = 0 → IRR = 13,27%
Odpowiedź
IRR = 13,27%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 6,115 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 090 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €1 124,20, P(7%) = €1 059,71
YTM = 6,521%
Odpowiedź
YTM = 6,521%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,458 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (102 − 100)/5 = 0,4
Odpowiedź
z = 0,4
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2778
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778
Odpowiedź
P = 0,2778
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2966
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaryzuj
z = (769,7 − 750)/9,849 = 2
Górny ogon
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 254,2 g
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,8
z z tablicy
z ≈ 0,84
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g
Odpowiedź
x = 254,2 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 6,44 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 12, t = 3,055
Margines błędu
E = 3,055·7,6/√13 = 6,44
Odpowiedź
E = 6,44 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 2116
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 2,576²·0,15·0,85/0,02² = 2115
Zaokrąglij w górę
n = 2116
Odpowiedź
n = 2116
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,698
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667
Statystyka testowa
t = (52,83 − 50)/1,667 = 1,698
Odpowiedź
t = 1,698
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 509,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·20/√25 = 6,58
Granica przedziału
U = 502,8 + 6,58 = 509,4
Odpowiedź
U = 509,4
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9826
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 126/6 = 21
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198
Syy = Σ(y − ȳ)² = 570
Współczynnik determinacji
r² = 198²/(70·570) = 0,9826
Odpowiedź
r² = 0,9826
Około 98,26% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 4,8
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 375/6 = 62,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 87,5
Prosta regresji
b = 87,5/17,5 = 5
a = 62,5 − 5·4,5 = 40
ŷ = 40 + 5·x
Wyznacz x
x = (64 − 40)/5 = 4,8
Odpowiedź
x = 4,8
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.