Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €20 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 7,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 20 lat. Konto daje 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €3003,6% / 12N = 240
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €6 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Inwestycja €50 000 przynosi €8 000 na koniec każdego roku przez 10 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
C0 = €50 000CF = €8 000n = 10
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 5%YTM = 8%n = 12
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €900 przy rentowności do wykupu 3% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 3,7 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 25 punktów bazowych.
P0 = €900y = 3%D = 3,7Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 4 000 000 akcji po €25,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 1,2, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,2rf = 3%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 21, 18, 35, 36, 17, 56, 56.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 56?
μ = 60σ = 5x = 56
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,35, 0,3, 0,05, 0,1
σ =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 11p = 0,5
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,8340. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,8340
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 25% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt25%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 67,5 i odchylenie standardowe s = 14. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 11x̄ = 67,5s = 1490%t(10) = 1,812
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 5E = 195%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
16 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 2,89, a odchylenie standardowe różnic 7,7. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 2,89sd = 7,7
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 64 pomiarów ma średnią 199,1. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.
x̄ = 199,1σ = 4n = 6499%
L =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 38?
n = 5ŷ = 38
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 333333 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 6 500/1,06 = 6 132,08 → Σ = 6 132,08
rok 2: 6 500/1,124 = 5 784,98 → Σ = 11 917,05
rok 3: 6 500/1,191 = 5 457,53 → Σ = 17 374,58
rok 4: 6 500/1,262 = 5 148,61 → Σ = 22 523,19
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 2 625,42/5 148,61 = 3,51
Odpowiedź
DPB = 3,51 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,077 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 9,606 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wymagany współczynnik renty
(1 − (1 + i)−10)/i = 50 000/8 000 = 6,25
Wyznacz stopę
Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.
i = 9%: 6,418
i = 10%: 6,145
IRR = 9,606%
Odpowiedź
IRR = 9,606%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 771,3 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €25,00, i = 0,04, N = 24
Wartość bieżąca kuponów
€25,00·(1 − 0,3901)/0,04 = €381,17
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,3901 = €390,12
Cena
P = €771,30
Odpowiedź
P = €771,30
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 891,9 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 3,7/1,03 = 3,592
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −3,592·(0,0025) = −0,8981%
P ≈ 900·(1 − 0,008981) = €891,92
Odpowiedź
P = €891,92
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,691 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,8
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Odpowiedź
P = 0,2119
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 1,162
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,511 = 0,0004883
P(X = 1) = 11·0,5·0,510 = 0,005371
Dodaj
P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859
Odpowiedź
P = 0,005859
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = −0,97
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,8340 = 0,1660
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,1660 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = −0,97
Odpowiedź
z = −0,97
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 110,1 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,75
z z tablicy
z ≈ 0,67
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 0,67·15 = 110,1 pkt
Odpowiedź
x = 110,1 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 59,85
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Margines błędu
E = 1,812·14/√11 = 7,649
Przedział
67,5 ± 7,649 → [59,85, 75,15]
Odpowiedź
dolna granica = 59,85
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 97
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·5/1)² = 96,04
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 97
Odpowiedź
n = 97
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,501
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 7,7/√16 = 1,925
Statystyka testowa
t = 2,89/1,925 = 1,501
Odpowiedź
t = 1,501
Przy df = 15 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,131; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 197,8
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 2,576·4/√64 = 1,288
Granica przedziału
L = 199,1 − 1,288 = 197,8
Odpowiedź
L = 197,8
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9184
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 42,8
Współczynnik korelacji
r = −19/√(10·42,8) = −0,9184
Odpowiedź
r = −0,9184
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 19,16
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 199/5 = 39,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
Prosta regresji
b = 86/40 = 2,15
a = 39,8 − 2,15·20 = −3,2
ŷ = −3,2 + 2,15·x
Wyznacz x
x = (38 − (−3,2))/2,15 = 19,16
Odpowiedź
x = 19,16
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.