Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 18 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 18%m = 4
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €200 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 30 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €200 0005,4% / 12N = 360
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €40 000, działa przez 4 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 4r = 12%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €10 000 i przynosi €6 000, €4 000, €2 000 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €15 000 i przynosi €4 000, €6 000, €8 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 13 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 5,5% na 6%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 4,5%n = 13y1 = 5,5%y2 = 6%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €935. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 10P = €935
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,5. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 28%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,5re = 14%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 1 000 000 akcji po €53,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 9%. Wyznacz WACC.
β = 0,8rf = 3,5%rm = 9%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 11, 39, 21, 58, 51, 30.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 60. Jaka część P wartości leży powyżej 380?
μ = 500σ = 60x = 380
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 5
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?
n = 7p = 0,5k = 1
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9633. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9633
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
U 12 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 5,5 i odchylenie standardowe 6,4. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 12d̄ = 5,5sd = 6,490%t(11) = 1,796
dolna granica = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 19 poletek, średni plon 25,5 kg, odchylenie standardowe 5 kg. Grupa poletek 2: 12 poletek, średnia 36,5 kg, odchylenie standardowe 8,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
6 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 1,73, a odchylenie standardowe różnic 5,3. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 1,73sd = 5,3
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 100 pomiarów ma średnią 73,9. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.
x̄ = 73,9σ = 10n = 10099%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 65?
n = 5ŷ = 65
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 19,25 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,18/4 = 0,045
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,045)4 − 1 = 1,193 − 1 = 19,25%
Odpowiedź
EAR = 19,25%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 1123 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·30 = 360
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,1986
A = 200 000·0,0045/(1 − 0,1986) = €1 123,06
Odpowiedź
A = €1 123,06
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 18169 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,12−4)/0,12 = 3,037
Zannualizowana cena zakupu
40 000/3,037 = 13 169,38
EAC
EAC = 13 169,38 + 5 000 = €18 169,38
Odpowiedź
EAC = €18 169,38
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 5,567 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 6 000 = −2 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 000 = 6 000
IRR różnicy
NPVΔ(5%) = 92,32
NPVΔ(6%) = −69,08
r* = 5,567%
Odpowiedź
r* = 5,567%
Sprawdzenie: przy 5,567% oba NPV wynoszą €972,77.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = −41,62 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Rozwiąż numerycznie
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €932,90
YTM = 7,967%
Odpowiedź
YTM = 7,967%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,53 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·14% + 0,3333·5%·(1 − 0,28) = 10,53%
Odpowiedź
WACC = 10,53%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,286 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wartości rynkowe
E = 1 000 000·€53,50 = €53 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3,5% + 0,8·5,5% = 7,9%
Wagi
V = €63 500 000, E/V = 0,8425, D/V = 0,1575
WACC
WACC = 0,8425·7,9% + 0,1575·5%·(1 − 0,2) = 7,286%
Odpowiedź
WACC = 7,286%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,6
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5981
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Odpowiedź
P = 0,5981
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,05469
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 1) = 7·0,51·0,56 = 7·0,5·0,01563 = 0,05469
Odpowiedź
P = 0,05469
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = −1,79
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,9633 = 0,0367
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,0367 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = −1,79
Odpowiedź
z = −1,79
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7881
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standaryzuj
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Odpowiedź
P = 0,7881
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 2,182 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 11, t = 1,796
Margines błędu
E = 1,796·6,4/√12 = 3,318
Przedział
5,5 ± 3,318 → [2,182, 8,818]
Odpowiedź
dolna granica = 2,182 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −4,342 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (18·5² + 11·8,5²)/29 = 42,92
sp = 6,552
Margines błędu
E = 2,756·6,552·√(1/19 + 1/12) = 6,658
Przedział
−11 ± 6,658 → [−17,66, −4,342]
Odpowiedź
górna granica = −4,342 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 0,7996
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 5,3/√6 = 2,164
Statystyka testowa
t = 1,73/2,164 = 0,7996
Odpowiedź
t = 0,7996
Przy df = 5 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,571; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 76,48
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 2,576·10/√100 = 2,576
Granica przedziału
U = 73,9 + 2,576 = 76,48
Odpowiedź
U = 76,48
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9759
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 138/6 = 23
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40
Syy = Σ(y − ȳ)² = 96
Współczynnik korelacji
r = −40/√(17,5·96) = −0,9759
Odpowiedź
r = −0,9759
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 3,494
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 383/5 = 76,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77
Prosta regresji
b = 77/10 = 7,7
a = 76,6 − 7,7·5 = 38,1
ŷ = 38,1 + 7,7·x
Wyznacz x
x = (65 − 38,1)/7,7 = 3,494
Odpowiedź
x = 3,494
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.