Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 5 latach.
PV = €12 0002% / 12n = 5
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 18 lat chcesz mieć €20 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €20 0002,4% / 12N = 216
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €15 500, €14 000, €13 000, €9 000, €10 500, €10 500 na koniec lat od 1 do 6. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €33 500, €32 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 33 500CF2 = 32 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 7%YTM = 5,5%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €1 145. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 8P = €1 145
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 1,25 ma wymaganą stopę zwrotu 9%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 1,25re = 9%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 5 000 000 akcji po €35,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 8%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 47, 57, 27, 26, 12, 33.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 164.
μ = 170σ = 12x = 164
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 8 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 8k = 5
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 12p = 0,4
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 96,25 a 123,25 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 100σ = 15x1 = 96,25x2 = 123,25
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 85% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 100 telefonów, średnia 119,5 h, znane odchylenie standardowe 15 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 132,5 h, znane odchylenie standardowe 19 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 35. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 35E = 195%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 47,25 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,25s = 10n = 64
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 49 pomiarów ma średnią 70,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 70,7σ = 20n = 4995%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 86?
n = 6ŷ = 86
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 13261 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 15 500/1,05 = 14 761,90 → Σ = 14 761,90
rok 2: 14 000/1,103 = 12 698,41 → Σ = 27 460,32
rok 3: 13 000/1,158 = 11 229,89 → Σ = 38 690,21
rok 4: 9 000/1,216 = 7 404,32 → Σ = 46 094,53
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 1 309,79/7 404,32 = 3,177
Odpowiedź
DPB = 3,177 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,808 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 20,81 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(20%) = 486,11
NPV(25%) = −2 400,00
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €35,00, i = 0,0275, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€35,00·(1 − 0,6137)/0,0275 = €491,71
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,6137 = €613,66
Cena
P = €1 105,37
Odpowiedź
P = €1 105,37
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 2,019 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 145 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Rozwiąż numerycznie
P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20
YTM = 2,019%
Odpowiedź
YTM = 2,019%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 7,5 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (9% − 1,5%)/1,25 = 6%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 1,5% + 6% = 7,5%
Odpowiedź
rm = 7,5%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,264 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (164 − 170)/12 = −0,5
Odpowiedź
z = −0,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 56
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
Odpowiedź
N = 56
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,01959
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,612 = 0,002177
P(X = 1) = 12·0,4·0,611 = 0,01741
Dodaj
P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959
Odpowiedź
P = 0,01959
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5381
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25
z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55
Pole pomiędzy
P = Φ(1,55) − Φ(−0,25) = 0,9394 − 0,4013 = 0,5381
Odpowiedź
P = 0,5381
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 255,2 g
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,85
z z tablicy
z ≈ 1,04
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Odpowiedź
x = 255,2 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −3,264 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 119,5 − 132,5 = −13
Błąd standardowy
SE = √(15²/100 + 19²/30) = 3,779
Margines błędu
E = 2,576·3,779 = 9,736
Przedział
−13 ± 9,736 → [−22,74, −3,264]
Odpowiedź
górna granica = −3,264 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 4706
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·35/1)² = 4706
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 4706
Odpowiedź
n = 4706
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Statystyka testowa
t = (47,25 − 50)/1,25 = −2,2
Odpowiedź
t = −2,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 76,3
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,96·20/√49 = 5,6
Granica przedziału
U = 70,7 + 5,6 = 76,3
Odpowiedź
U = 76,3
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9672
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 101/6 = 16,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 162,8
Współczynnik determinacji
r² = −52,5²/(17,5·162,8) = 0,9672
Odpowiedź
r² = 0,9672
Około 96,72% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 24,05
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 473/6 = 78,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245
Prosta regresji
b = 245/70 = 3,5
a = 78,83 − 3,5·22 = 1,833
ŷ = 1,833 + 3,5·x
Wyznacz x
x = (86 − 1,833)/3,5 = 24,05
Odpowiedź
x = 24,05
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.