Inwestujesz €1 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.
PV = €1 0004,8% / 12n = 10
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 22 lat. Konto daje 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €2503% / 12N = 264
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €80 000. Przynosi €19 000 na koniec każdego roku przez 5 lat, a potem można ją sprzedać za €12 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €80 000CF = €19 000S = €12 000n = 5r = 6%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Inwestycja €10 000 przynosi €2 000 na koniec każdego roku przez 10 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
C0 = €10 000CF = €2 000n = 10
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 13 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 3% na 3,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 5%n = 13y1 = 3%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €885. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 9P = €885
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 10%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%, 10 lat do wykupu), notowanych po €1 038 za sztukę. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 12, 24, 19, 38, 42, 57.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 152?
μ = 170σ = 12x = 152
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 9 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 9k = 5
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,6, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,6k = 4
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,2061. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,2061
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 9 elementów ma średnią 31 i odchylenie standardowe s = 18,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 9x̄ = 31s = 18,599%t(8) = 3,355
E =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 13. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 13E = 190%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
8 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −1,09, a odchylenie standardowe różnic 1,1. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = −1,09sd = 1,1
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 4E = 1,590%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 78?
n = 5ŷ = 78
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 1615 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
19 000·4,212 = 80 034,91
Wartość bieżąca wartości końcowej
12 000/1,338 = 8 967,10
NPV
NPV = −80 000 + 80 034,91 + 8 967,10 = €9 002,01
Odpowiedź
NPV = €9 002,01
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 15,1 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wymagany współczynnik renty
(1 − (1 + i)−10)/i = 10 000/2 000 = 5
Wyznacz stopę
Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.
i = 15%: 5,019
i = 16%: 4,833
IRR = 15,1%
Odpowiedź
IRR = 15,1%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = −58,16 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€885 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Rozwiąż numerycznie
P(9%) = €940,05, P(10%) = €884,82
YTM = 9,997%
Odpowiedź
YTM = 9,997%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,357 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Odpowiedź
P = 0,06681
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 126
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Odpowiedź
N = 126
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1672
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,2061 = 0,7939
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,7939 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 0,82
Odpowiedź
z = 0,82
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaryzuj
z = (0 − 10)/10 = −1
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 20,69
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Margines błędu
E = 3,355·18,5/√9 = 20,69
Odpowiedź
E = 20,69
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 458
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·13/1)² = 457,3
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 458
Odpowiedź
n = 458
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,803
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 1,1/√8 = 0,3889
Statystyka testowa
t = −1,09/0,3889 = −2,803
Odpowiedź
t = −2,803
Przy df = 7 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,365; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 20
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·4/1,5)² = 19,24
Zaokrąglij w górę
n = 20
Odpowiedź
n = 20
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9623
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 262/6 = 43,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71
Syy = Σ(y − ȳ)² = 299,3
Współczynnik determinacji
r² = 71²/(17,5·299,3) = 0,9623
Odpowiedź
r² = 0,9623
Około 96,23% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 8,07
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 371/5 = 74,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
Prosta regresji
b = 142/40 = 3,55
a = 74,2 − 3,55·7 = 49,35
ŷ = 49,35 + 3,55·x
Wyznacz x
x = (78 − 49,35)/3,55 = 8,07
Odpowiedź
x = 8,07
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.