Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 20 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €8 000 przy 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €250 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €8 000A = €2503,6% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €10 000, €7 000, €7 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 000, €13 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 13 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 8 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 069, gdy rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 8P = €1 069YTM = 3,5%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €1 080 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 9 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 75 punktów bazowych.
P0 = €1 080y = 7%D = 9Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1D/E = 0,75T = 21%rf = 3%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 21, 46, 16, 37, 42, 10, 10.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 146?
μ = 170σ = 20x = 146
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 8
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 10p = 0,25k = 3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 12 z nich przekroczy 482,1 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 482,1 g
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 16 elementów ma średnią 14 i odchylenie standardowe s = 17,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 16x̄ = 14s = 17,595%t(15) = 2,131
E =
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 7 poletek, średni plon 70,5 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 62 kg, odchylenie standardowe 4 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
20 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 1,9, a odchylenie standardowe różnic 5,3. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,9sd = 5,3
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 4E = 199%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 20,5.
n = 6x = 20,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 21,94 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Odpowiedź
EAR = 21,94%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: N = 34 raty
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,003/250 = 0,904
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,904)/ln(1,003) = 33,69
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
33 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 34
Odpowiedź
N = 34 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −9865 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 10 000/1,1 = 9 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 7 000/1,331 = 5 259,20
Zsumuj
NPV = €−9 864,76
Odpowiedź
NPV = €−9 864,76
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 16,02 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 264,65
NPV(20%) = −972,22
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 15 + 5·264,65/(264,65 − (−972,22)) = 16,07%
dokładnie: NPV(16,02%) = 0 → IRR = 16,02%
Odpowiedź
IRR = 16,02%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: c = 4,504 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,035)−8 = €759,41
Kupon
C = (1069 − 759,41)/6,874 = €45,04
Oprocentowanie kuponu
c = 45,04/1000 = 4,504%
Odpowiedź
c = 4,504%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1148 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 9/1,07 = 8,411
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −8,411·(−0,0075) = 6,308%
P ≈ 1080·(1 + 0,06308) = €1 148,13
Odpowiedź
P = €1 148,13
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,298 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·3,5%·(1 − 0,258) = 6,298%
Odpowiedź
WACC = 6,298%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 11,76 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1·(1 + 0,79·0,75) = 1,593
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3% + 1,593·5,5% = 11,76%
Odpowiedź
re = 11,76%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,35
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Odpowiedź
P = 0,1151
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7674
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Odpowiedź
P = 0,7674
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2503
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 480 g, σT = 1,2·√12 = 4,157 g
Standaryzuj
z = (482,1 − 480)/4,157 = 0,51
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(0,51) = 0,305
Odpowiedź
P = 0,305
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8133
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Odpowiedź
P = 0,8133
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 9,323
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Margines błędu
E = 2,131·17,5/√16 = 9,323
Odpowiedź
E = 9,323
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 14 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (6·2² + 4·4²)/10 = 8,8
sp = 2,966
Margines błędu
E = 3,169·2,966·√(1/7 + 1/5) = 5,505
Przedział
8,5 ± 5,505 → [2,995, 14]
Odpowiedź
górna granica = 14 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,603
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 5,3/√20 = 1,185
Statystyka testowa
t = 1,9/1,185 = 1,603
Odpowiedź
t = 1,603
Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 107
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·4/1)² = 106,2
Zaokrąglij w górę
n = 107
Odpowiedź
n = 107
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,8997
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Syy = Σ(y − ȳ)² = 58,8
Współczynnik determinacji
r² = −23²/(10·58,8) = 0,8997
Odpowiedź
r² = 0,8997
Około 89,97% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 111,9
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 764/6 = 127,3
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 810
Prosta regresji
b = 810/157,5 = 5,143
a = 127,3 − 5,143·23,5 = 6,476
ŷ = 6,476 + 5,143·x
Prognoza
ŷ = 6,476 + 5,143·20,5 = 111,9
Odpowiedź
ŷ = 111,9
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.