Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.

PV = €12 0004,8% / 4n = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 13 lat chcesz mieć €30 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €30 0006% / 12N = 156

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €16 000, €22 000, €16 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 22 000CF₃ = 16 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €6 500, €6 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 4 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 112, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 4P = €1 112YTM = 3%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 2%n = 6YTM = 5%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €5 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €2 000 000 i długiem o wartości €5 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt akcji uprzywilejowanych 6,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000P_s = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_p = 6,5%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €14,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 1,2, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 10,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,2r_f = 3,5%r_m = 10,5%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 13, 49, 31, 28, 33, 12.

n = 6

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 120?

μ = 100σ = 20x = 120

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,35

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 10. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35Y = 2X + 10

σ_Y =

13.Rozkład normalnyŚredni

Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 5 z nich przekroczy 201,3 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 201,3 g

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 15% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 12 elementów ma średnią 19 i odchylenie standardowe s = 14,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 12x̄ = 19s = 14,595%t(11) = 2,201

E =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 4E = 0,599%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 52,63 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,63s = 10n = 64

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 15E = 2,599%

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 19338 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·10 = 40

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,012)⁴⁰ = 12 000·1,611 = €19 337,56

Odpowiedź

FV = €19 337,56

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 127,4 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·13 = 156

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,005/(2,177 − 1) = €127,42

Odpowiedź

A = €127,42

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 1378 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 16 000/1,08 = 14 814,81

CF₂/(1 + 0,08)² = 22 000/1,166 = 18 861,45

CF₃/(1 + 0,08)³ = 16 000/1,26 = 12 701,32

Zsumuj

NPV = €1 377,58

Odpowiedź

NPV = €1 377,58

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 16,5 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(15%) = 189,04

NPV(20%) = −416,67

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 15 + 5·189,04/(189,04 − (−416,67)) = 16,56%

dokładnie: NPV(16,5%) = 0 → IRR = 16,5%

Odpowiedź

IRR = 16,5%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 6,013 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,03)⁻⁴ = €888,49

Kupon

C = (1112 − 888,49)/3,717 = €60,13

Oprocentowanie kuponu

c = 60,13/1000 = 6,013%

Odpowiedź

c = 6,013%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 5,684 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 20/1,05 = 19,05, t·PV = 19,05

t = 2: 20/1,103 = 18,14, t·PV = 36,28

t = 3: 20/1,158 = 17,28, t·PV = 51,83

t = 4: 20/1,216 = 16,45, t·PV = 65,82

t = 5: 20/1,276 = 15,67, t·PV = 78,35

t = 6: 1020/1,34 = 761,14, t·PV = 4 566,84

Duration

P = 847,73

D = 4 818,17/847,73 = 5,684

Odpowiedź

D = 5,684 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,688 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 5 000 000 + 2 000 000 + 5 000 000 = €12 000 000

E/V = 0,4167, P_s/V = 0,1667, D/V = 0,4167

WACC

WACC = 0,4167·9% + 0,1667·6,5% + 0,4167·6%·(1 − 0,258) = 6,688%

Odpowiedź

WACC = 6,688%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,934 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€14,00 = €56 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,2·7% = 11,9%

Wagi

V = €75 200 000, E/V = 0,7447, D/V = 0,2553

WACC

WACC = 0,7447·11,9% + 0,2553·6%·(1 − 0,3) = 9,934%

Odpowiedź

WACC = 9,934%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,82

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 166/6 = 27,67

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−14,67)² + 21,33² + 3,333² + 0,3333² + 5,333² + (−15,67)² = 955,3

Odchylenie standardowe

s = √(955,3/5) = 13,82

Odpowiedź

s = 13,82

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,244

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,35 = 1,55

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,35 = 3,95

Wariancja

Var(X) = 3,95 − 1,55² = 1,548

σ = √1,548 = 1,244

Odpowiedź

σ = 1,244

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 4,75

Rozrzut X

μ = 3,4, Var(X) = 5,64, σ_X = 2,375

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·2,375 = 4,75

Odpowiedź

σ_Y = 4,75

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·3,4 + 10 = 16,8.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3156

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Standaryzuj

z = (201,3 − 200)/2,683 = 0,48

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(0,48) = 0,3156

Odpowiedź

P = 0,3156

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 170,7 cm

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,15

z z tablicy

z ≈ −1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Odpowiedź

x = 170,7 cm

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 9,213

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margines błędu

E = 2,201·14,5/√12 = 9,213

Odpowiedź

E = 9,213

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 425

Wyznacz n

n = (2,576·4/0,5)² = 424,7

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 425

Odpowiedź

n = 425

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,104

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Statystyka testowa

t = (52,63 − 50)/1,25 = 2,104

Odpowiedź

t = 2,104

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 239

Wyznacz n

n = (2,576·15/2,5)² = 238,9

Zaokrąglij w górę

n = 239

Odpowiedź

n = 239

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,986

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 104/5 = 20,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 306,8

Współczynnik determinacji

r² = 110²/(40·306,8) = 0,986

Odpowiedź

r² = 0,986

Około 98,6% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 36,94

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 174/6 = 29

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

Prosta regresji

b = 278/70 = 3,971

a = 29 − 3,971·7 = 1,2

ŷ = 1,2 + 3,971·x

Prognoza

ŷ = 1,2 + 3,971·9 = 36,94

Odpowiedź

ŷ = 36,94

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income