Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 21 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 21%m = 4

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €150 0005,4% / 12N = 240

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €23 000, €25 000, €14 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 000CF₂ = 25 000CF₃ = 14 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €27 500, €29 500, €27 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 500CF₂ = 29 500CF₃ = 27 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 5%n = 6

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €1 055. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 7P = €1 055

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,4. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 30%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,4r_e = 10%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 1,1D/E = 0,75T = 28%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 56, 50, 41, 54, 57.

n = 6

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 185?

μ = 170σ = 15x = 185

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 13 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 13k = 2

N =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 8p = 0,3

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8444. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8444

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 74 i odchylenie standardowe s = 2,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 6x̄ = 74s = 2,599%t(5) = 4,032

górna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 13. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 13E = 1,590%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 12. Losowa próba 64 obserwacji ma średnią 247,93. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ < 250. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 250σ = 12n = 64x̄ = 247,93H₁: μ < μ₀

p =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 100 pomiarów ma średnią 199,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 199,8σ = 5n = 10095%

L =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 24?

n = 6ŷ = 24

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 22,71 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,21/4 = 0,0525

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0525)⁴ − 1 = 1,227 − 1 = 22,71%

Odpowiedź

EAR = 22,71%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 1023 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,3404

A = 150 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 023,38

Odpowiedź

A = €1 023,38

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −5241 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 23 000/1,07 = 21 495,33

CF₂/(1 + 0,07)² = 25 000/1,145 = 21 835,97

CF₃/(1 + 0,07)³ = 14 000/1,225 = 11 428,17

Zsumuj

NPV = €−5 240,53

Odpowiedź

NPV = €−5 240,53

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 31,59 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 1 126,54

NPV(35%) = −2 265,91

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·1 126,54/(1 126,54 − (−2 265,91)) = 31,66%

dokładnie: NPV(31,59%) = 0 → IRR = 31,59%

Odpowiedź

IRR = 31,59%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 846,1 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,025, N = 12

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,7436)/0,025 = €102,58

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7436 = €743,56

Cena

P = €846,13

Odpowiedź

P = €846,13

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 6,014 %

Równanie dla rentowności

€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Rozwiąż numerycznie

P(6%) = €1 055,82, P(7%) = €1 000,00

YTM = 6,014%

Odpowiedź

YTM = 6,014%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,143 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·10% + 0,2857·5%·(1 − 0,3) = 8,143%

Odpowiedź

WACC = 8,143%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 11,16 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 1,1·(1 + 0,72·0,75) = 1,694

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 1,694·6% = 11,16%

Odpowiedź

r_e = 11,16%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 5,899

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 312/6 = 52

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 2² + 4² + (−2)² + (−11)² + 2² + 5² = 174

Odchylenie standardowe

s = √(174/5) = 5,899

Odpowiedź

s = 5,899

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 78

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Odpowiedź

N = 78

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2553

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,7⁸ = 0,05765

P(X = 1) = 8·0,3·0,7⁷ = 0,1977

Dodaj

P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553

Odpowiedź

P = 0,2553

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,42

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,8444)/2 = 0,9222

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9222 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,42

Odpowiedź

z = 1,42

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 22,13 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Powrót do x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Odpowiedź

x = 22,13 min

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 78,12

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Margines błędu

E = 4,032·2,5/√6 = 4,115

Przedział

74 ± 4,115 → [69,88, 78,12]

Odpowiedź

górna granica = 78,12

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 204

Wyznacz n

n = (1,645·13/1,5)² = 203,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 204

Odpowiedź

n = 204

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,08379

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5

z = (247,93 − 250)/1,5 = −1,38

Pole ogona

Φ(1,38) = 0,9162

1 − Φ(1,38) = 0,0838

Wartość p

p = 0,08379

Odpowiedź

p = 0,08379

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 198,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,96·5/√100 = 0,98

Granica przedziału

L = 199,8 − 0,98 = 198,8

Odpowiedź

L = 198,8

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9035

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 235/5 = 47

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 196

Współczynnik korelacji

r = 40/√(10·196) = 0,9035

Odpowiedź

r = 0,9035

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 11,1

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 145

Prosta regresji

b = 145/70 = 2,071

a = 15,5 − 2,071·7 = 1

ŷ = 1 + 2,071·x

Wyznacz x

x = (24 − 1)/2,071 = 11,1

Odpowiedź

x = 11,1

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income