Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €12 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 5,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €12 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €200 na koniec każdego miesiąca przez 27 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €2002,4% / 12N = 324
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €40 000. Przynosi €11 500 na koniec każdego roku przez 4 lat, a potem można ją sprzedać za €6 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €40 000CF = €11 500S = €6 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €31 000, €34 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 31 000CF2 = 34 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 11 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 2%YTM = 3%n = 11
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 16 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 9%) kosztuje €1 089. Emitent może ją wykupić przed terminem za 5 lat po cenie wykupu €1 090. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 9%P = €1 089cena wcześniejszego wykupu = €1 090wcześniejszy wykup za 5 lata
YTC = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej WACC wynosi 6,3%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stawka podatku 25,8%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Akcje firmy mają betę 1,4 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,3328. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,3328
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).
μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 105 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Model 2: 40 telefonów, średnia 118 h, znane odchylenie standardowe 18 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 25 studentów ma średni wynik 495,7 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 495,7s = 12n = 25
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 4 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 80%δ = 4σ = 20zα = 1,645zβ = 0,842
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 300000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
11 500·3,465 = 39 848,71
Wartość bieżąca wartości końcowej
6 000/1,262 = 4 752,56
NPV
NPV = −40 000 + 39 848,71 + 4 752,56 = €4 601,28
Odpowiedź
NPV = €4 601,28
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 19,66 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 3 043,48
NPV(20%) = −208,33
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €10,00, i = 0,015, N = 22
Wartość bieżąca kuponów
€10,00·(1 − 0,7207)/0,015 = €186,21
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7207 = €720,69
Cena
P = €906,90
Odpowiedź
P = €906,90
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTC = 8,28 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1089 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Rozwiąż numerycznie
y = 8%: €1 101,18
y = 9%: €1 058,49
YTC = 8,28%
Odpowiedź
YTC = 8,28%
Rentowność do wykupu wynosi 7,995%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
Część dłużna WACC
0,5556·4,5%·(1 − 0,258) = 1,855%
Koszt kapitału własnego
re = (6,3% − 1,855%)/0,4444 = 10%
Odpowiedź
re = 10%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 13,8 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,4/(1 + 0,72·0,5) = 1,029
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,029·(1 + 0,72·0,75) = 1,585
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3,5% + 1,585·6,5% = 13,8%
Odpowiedź
re = 13,8%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,87
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Odpowiedź
P = 0,3085
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 89
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 2,2, Var(X) = 1,06, σX = 1,03
Zmiana liniowa
σY = |2|·1,03 = 2,059
Odpowiedź
σY = 2,059
Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·2,2 + 10 = 14,4.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 0,43
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,3328)/2 = 0,6664
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,6664 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 0,43
Odpowiedź
z = 0,43
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 578,4 h
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Powrót do x
x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h
Odpowiedź
x = 578,4 h
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −5,49 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 105 − 118 = −13
Błąd standardowy
SE = √(4²/40 + 18²/40) = 2,915
Margines błędu
E = 2,576·2,915 = 7,51
Przedział
−13 ± 7,51 → [−20,51, −5,49]
Odpowiedź
górna granica = −5,49 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −3,37 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (19·8² + 5·1,5²)/24 = 51,14
sp = 7,151
Margines błędu
E = 2,064·7,151·√(1/20 + 1/6) = 6,87
Przedział
3,5 ± 6,87 → [−3,37, 10,37]
Odpowiedź
dolna granica = −3,37 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,792
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Statystyka testowa
t = (495,7 − 500)/2,4 = −1,792
Odpowiedź
t = −1,792
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 155
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((1,645 + 0,842)·20/4)² = 154,6
Zaokrąglij w górę
n = 155
Odpowiedź
n = 155
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9843
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 452/6 = 75,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2345
Współczynnik determinacji
r² = 402²/(70·2345) = 0,9843
Odpowiedź
r² = 0,9843
Około 98,43% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 71,06
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 510/6 = 85
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122
Prosta regresji
b = 122/17,5 = 6,971
a = 85 − 6,971·5,5 = 46,66
ŷ = 46,66 + 6,971·x
Prognoza
ŷ = 46,66 + 6,971·3,5 = 71,06
Odpowiedź
ŷ = 71,06
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.