Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 4 lat potrzebujesz €25 000. Konto daje 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €25 0006% / 12n = 4

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €500 na koniec każdego miesiąca przez 14 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €5006% / 12N = 168

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €80 000. Przynosi €25 000 na koniec każdego roku przez 4 lat, a potem można ją sprzedać za €20 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €80 000CF = €25 000S = €20 000n = 4r = 12%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €10 500, €11 000, €16 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 11 000CF₃ = 16 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 11 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 8%n = 11

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 9 lat. Kosztuje €818. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 6% (2×)n = 9P = €818

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej WACC wynosi 6,5%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 20%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 6,5%r_d = 5%T = 20%

r_e = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €30,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,5, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 10,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,5r_f = 3,5%r_m = 10,5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 17, 24, 14, 49, 55, 48, 26.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 190.

μ = 170σ = 10x = 190

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 4

P =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,4, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 6p = 0,4k = 3

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 201 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 201 mm

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 60% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

15.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 149,5 h, znane odchylenie standardowe 14 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 163 h, znane odchylenie standardowe 3 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 149,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 163 hσ₂ = 3 h90%

górna granica = h

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 9. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 9E = 295%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 499,5 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,5s = 5n = 81

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 8E = 195%

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 21Σy = 344Σx² = 91Σy² = 20270Σxy = 1301

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 19677 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·4 = 48

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,27 = €19 677,46

Odpowiedź

PV = €19 677,46

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 131152 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·14 = 168

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2,312 − 1)/0,005 = €131 152,38

Odpowiedź

FV = €131 152,38

Sam wpłaciłeś €84 000; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 8644 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

25 000·3,037 = 75 933,73

Wartość bieżąca wartości końcowej

20 000/1,574 = 12 710,36

NPV

NPV = −80 000 + 75 933,73 + 12 710,36 = €8 644,10

Odpowiedź

NPV = €8 644,10

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 21,53 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 648,15

NPV(25%) = −1 368,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·648,15/(648,15 − (−1 368,00)) = 21,61%

dokładnie: NPV(21,53%) = 0 → IRR = 21,53%

Odpowiedź

IRR = 21,53%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 566,5 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,04, N = 22

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,422)/0,04 = €144,51

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,422 = €421,96

Cena

P = €566,47

Odpowiedź

P = €566,47

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 8,993 %

Na okres

C = €30,00, N = 18

Rozwiąż numerycznie

i = 4,496% na półrocze

YTM

YTM = 2·4,496% = 8,993%

Odpowiedź

YTM = 8,993%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 8 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

Część dłużna WACC

0,375·5%·(1 − 0,2) = 1,5%

Koszt kapitału własnego

r_e = (6,5% − 1,5%)/0,625 = 8%

Odpowiedź

r_e = 8%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 13,63 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€30,00 = €150 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,5·7% = 14%

Wagi

V = €154 900 000, E/V = 0,9684, D/V = 0,03163

WACC

WACC = 0,9684·14% + 0,03163·3%·(1 − 0,21) = 13,63%

Odpowiedź

WACC = 13,63%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,89

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 233/7 = 33,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−16,29)² + (−9,286)² + (−19,29)² + 15,71² + 21,71² + 14,71² + (−7,286)² = 1711

Odchylenie standardowe

s = √(1711/6) = 16,89

Odpowiedź

s = 16,89

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 2

Standaryzuj

z = (190 − 170)/10 = 2

Odpowiedź

z = 2

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5177

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Odpowiedź

P = 0,5177

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2765

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 20·0,4³·0,6³ = 20·0,064·0,216 = 0,2765

Odpowiedź

P = 0,2765

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,02275

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standaryzuj

z = (201 − 200)/0,5 = 2

Górny ogon

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 251,3 g

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,6

z z tablicy

z ≈ 0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Odpowiedź

x = 251,3 g

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = −10,17 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 149,5 − 163 = −13,5

Błąd standardowy

SE = √(14²/50 + 3²/50) = 2,025

Margines błędu

E = 1,645·2,025 = 3,331

Przedział

−13,5 ± 3,331 → [−16,83, −10,17]

Odpowiedź

górna granica = −10,17 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 78

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·9/2)² = 77,79

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 78

Odpowiedź

n = 78

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,9

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Statystyka testowa

t = (499,5 − 500)/0,5556 = −0,9

Odpowiedź

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 246

Wyznacz n

n = (1,96·8/1)² = 245,9

Zaokrąglij w górę

n = 246

Odpowiedź

n = 246

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9911

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1301 − 21·344/6 = 97

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 20270 − 344²/6 = 547,3

Współczynnik korelacji

r = 97/√(17,5·547,3) = 0,9911

Odpowiedź

r = 0,9911

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 76,2

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 336/5 = 67,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Prosta regresji

b = 120/40 = 3

a = 67,2 − 3·6 = 49,2

ŷ = 49,2 + 3·x

Prognoza

ŷ = 49,2 + 3·9 = 76,2

Odpowiedź

ŷ = 76,2

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income