Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 20 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €20 000 przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €475 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €20 000A = €4754,8% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €60 000. Przynosi €20 000 na koniec każdego roku przez 3 lat, a potem można ją sprzedać za €9 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €60 000CF = €20 000S = €9 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €11 000, €13 500, €10 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 11 000CF2 = 13 500CF3 = 10 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 14 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 5% na 3,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 4,5%n = 14y1 = 5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €890. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 6P = €890
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €12 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €2 000 000 i długiem o wartości €5 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt akcji uprzywilejowanych 6%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,9. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 0,9D/E = 0,75T = 21%rf = 1,5%rm − rf = 5%
re = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 13, 49, 44, 59, 41.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 80?
μ = 100σ = 10x = 80
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 7 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 7k = 2
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 8p = 0,1
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 200,8 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,8 mm
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 9 elementów ma średnią 73 i odchylenie standardowe s = 3,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 9x̄ = 73s = 3,590%t(8) = 1,86
górna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,4 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,03?
p ≈ 0,4E = 0,0399%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
13 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −0,95, a odchylenie standardowe różnic 4,3. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = −0,95sd = 4,3
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 0,599%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 27,5.
n = 5x = 27,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 21,94 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Odpowiedź
EAR = 21,94%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: N = 47 raty
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,004/475 = 0,8316
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,8316)/ln(1,004) = 46,2
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
46 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 47
Odpowiedź
N = 47 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −3501 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
20 000·2,487 = 49 737,04
Wartość bieżąca wartości końcowej
9 000/1,331 = 6 761,83
NPV
NPV = −60 000 + 49 737,04 + 6 761,83 = −€3 501,13
Odpowiedź
NPV = −€3 501,13
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 19,02 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 1 677,08
NPV(20%) = −381,94
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Rozwiąż numerycznie
P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34
YTM = 9,488%
Odpowiedź
YTM = 9,488%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,566 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 0,9·(1 + 0,79·0,75) = 1,433
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1,5% + 1,433·5% = 8,666%
Odpowiedź
re = 8,666%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,18
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 21
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Odpowiedź
N = 21
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,8131
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,98 = 0,4305
P(X = 1) = 8·0,1·0,97 = 0,3826
Dodaj
P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131
Odpowiedź
P = 0,8131
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,0548
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaryzuj
z = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6
Górny ogon
P = 1 − Φ(1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548
Odpowiedź
P = 0,0548
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaryzuj
z = (0 − 10)/10 = −1
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 75,17
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Margines błędu
E = 1,86·3,5/√9 = 2,17
Przedział
73 ± 2,17 → [70,83, 75,17]
Odpowiedź
górna granica = 75,17
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1770
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 2,576²·0,4·0,6/0,03² = 1770
Zaokrąglij w górę
n = 1770
Odpowiedź
n = 1770
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −0,7966
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 4,3/√13 = 1,193
Statystyka testowa
t = −0,95/1,193 = −0,7966
Odpowiedź
t = −0,7966
Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 2655
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·10/0,5)² = 2654
Zaokrąglij w górę
n = 2655
Odpowiedź
n = 2655
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9821
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 307/5 = 61,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1395
Współczynnik korelacji
r = 232/√(40·1395) = 0,9821
Odpowiedź
r = 0,9821
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 82,35
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 324/5 = 64,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351
Prosta regresji
b = 351/90 = 3,9
a = 64,8 − 3,9·23 = −24,9
ŷ = −24,9 + 3,9·x
Prognoza
ŷ = −24,9 + 3,9·27,5 = 82,35
Odpowiedź
ŷ = 82,35
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.