Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €5 000 przy nominalnej stopie 3 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.

PV = €5 0003% / 4n = 6

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 25 lat przy 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 5? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €150 0005,4% / 12N = 300k = 60

B = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €36 000, €34 000, €31 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 34 000CF₃ = 31 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €10 000 przynosi €2 000 na koniec każdego roku przez 7 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €10 000CF = €2 000n = 7

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 7 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 125, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 7P = €1 125YTM = 3%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €880. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 9P = €880

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,4 ma wymaganą stopę zwrotu 11,4%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 3%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,4r_e = 11,4%r_f = 3%

r_m = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 2 000 000 akcji notowanych po €17,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €10 200 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,60 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €10 200 000 i koszt przed opodatkowaniem 4%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 2 000 000P₀ = €17,00księgowy kapitał własny = €10 200 000D₀ = €1,60g = 5%D = €10 200 000r_d = 4%T = 21%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 32, 27, 49, 15, 21, 53.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 82?

μ = 100σ = 15x = 82

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,4, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 11p = 0,4k = 4

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,3759. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,3759

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 30 elementów ma średnią 39 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 30x̄ = 39s = 299%t(29) = 2,756

E =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 23. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 23E = 495%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 8. Losowa próba 64 obserwacji ma średnią 248,7. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ ≠ 250. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 250σ = 8n = 64x̄ = 248,7H₁: μ ≠ μ₀

p =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 95%δ = 1,5σ = 10z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 16). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(3, 16)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 5982 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·6 = 24

Wartość przyszła

FV = 5 000·(1 + 0,0075)²⁴ = 5 000·1,196 = €5 982,07

Odpowiedź

FV = €5 982,07

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 133704 €

Rata miesięczna

i = 0,0045, N = 300

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁰⁰) = €912,19

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 300 − 60 = 240

B = 912,2·(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰)/0,0045 = €133 703,59

Odpowiedź

B = €133 703,59

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 2396 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 36 000/1,15 = 31 304,35

CF₂/(1 + 0,15)² = 34 000/1,322 = 25 708,88

CF₃/(1 + 0,15)³ = 31 000/1,521 = 20 383,00

Zsumuj

NPV = €2 396,24

Odpowiedź

NPV = €2 396,24

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 9,196 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 10 000/2 000 = 5

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 9%: 5,033

i = 10%: 4,868

IRR = 9,196%

Odpowiedź

IRR = 9,196%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 5,006 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,03)⁻⁷ = €813,09

Kupon

C = (1125 − 813,09)/6,23 = €50,06

Oprocentowanie kuponu

c = 50,06/1000 = 5,006%

Odpowiedź

c = 5,006%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 9,002 %

Równanie dla rentowności

€880 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(9%) = €880,10, P(10%) = €827,23

YTM = 9,002%

Odpowiedź

YTM = 9,002%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 9 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (11,4% − 3%)/1,4 = 6%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 3% + 6% = 9%

Odpowiedź

r_m = 9%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 12,18 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 1,6·1,05 = €1,68

r_e = 1,68/17 + 0,05 = 14,88%

Wartości rynkowe

E = 2 000 000·€17,00 = €34 000 000

V = €44 200 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·14,88% + 0,2308·4%·(1 − 0,21) = 12,18%

Odpowiedź

WACC = 12,18%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,05

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 251/7 = 35,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 18,14² + (−3,857)² + (−8,857)² + 13,14² + (−20,86)² + (−14,86)² + 17,14² = 1545

Odchylenie standardowe

s = √(1545/6) = 16,05

Odpowiedź

s = 16,05

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1151

Standaryzuj

z = −1,2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Odpowiedź

P = 0,1151

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 2,406

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 2·0,15 + 4·0,25 + 6·0,3 = 3,1

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,15 + 16·0,25 + 36·0,3 = 15,4

Wariancja

Var(X) = 15,4 − 3,1² = 5,79

σ = √5,79 = 2,406

Odpowiedź

σ = 2,406

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2365

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 330·0,4⁴·0,6⁷ = 330·0,0256·0,02799 = 0,2365

Odpowiedź

P = 0,2365

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,49

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,3759)/2 = 0,6879

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,6879 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,49

Odpowiedź

z = 0,49

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 1,006

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Margines błędu

E = 2,756·2/√30 = 1,006

Odpowiedź

E = 1,006

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 128

Wyznacz n

n = (1,96·23/4)² = 127

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 128

Odpowiedź

n = 128

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,1936

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (248,7 − 250)/1 = −1,3

Pole ogona

Φ(1,3) = 0,9032

1 − Φ(1,3) = 0,0968

Wartość p

p = 2·0,0968 = 0,1936

Odpowiedź

p = 0,1936

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 482

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,645)·10/1,5)² = 481,1

Zaokrąglij w górę

n = 482

Odpowiedź

n = 482

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,8492

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 117/6 = 19,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 145,5

Współczynnik determinacji

r² = −46,5²/(17,5·145,5) = 0,8492

Odpowiedź

r² = 0,8492

Około 84,92% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 1,8

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 134/5 = 26,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

Prosta regresji

b = 168/40 = 4,2

a = 26,8 − 4,2·6 = 1,6

ŷ = 1,6 + 4,2·x

Wartość przewidywana

ŷ = 1,6 + 4,2·3 = 14,2

Reszta

e = 16 − 14,2 = 1,8

Odpowiedź

e = 1,8

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income