Za 2 lat potrzebujesz €40 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €40 0004,8% / 4n = 2
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt hipoteczny €300 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 15? Wyznacz saldo zadłużenia B.
P = €300 0003,6% / 12N = 240k = 180
B = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €60 000. Przynosi €8 500 na koniec każdego roku przez 8 lat, a potem można ją sprzedać za €15 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €60 000CF = €8 500S = €15 000n = 8r = 6%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje dziś €80 000. Jego przepływ wynosi €9 000 na koniec roku 1 i rośnie o 4 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 9. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €9 000g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 5 lat. Rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 4%n = 5YTM = 8%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,4 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,6. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 27,5 a 35 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 32σ = 6x1 = 27,5x2 = 35
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 25% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 65 pktσ = 10 pkt25%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 9 elementów ma średnią 112 i odchylenie standardowe s = 18. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 9x̄ = 112s = 1895%t(8) = 2,306
górna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 30. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 30E = 190%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 15 uczniów, średni wynik 97,5, odchylenie standardowe 9. Grupa 2: 11 uczniów, średni wynik 90,9, odchylenie standardowe 5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 15x̄₁ = 97,5s₁ = 9n₂ = 11x̄₂ = 90,9s₂ = 5
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 95%δ = 3σ = 5zα = 2,326zβ = 1,645
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 22?
n = 5ŷ = 22
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 36359 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·2 = 8
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,1 = €36 359,33
Odpowiedź
PV = €36 359,33
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: B = 96254 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.
N − k = 240 − 180 = 60
B = 1755·(1 − (1 + 0,003)−60)/0,003 = €96 253,58
Odpowiedź
B = €96 253,58
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 2194 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
8 500·6,21 = 52 783,25
Wartość bieżąca wartości końcowej
15 000/1,594 = 9 411,19
NPV
NPV = −60 000 + 52 783,25 + 9 411,19 = €2 194,43
Odpowiedź
NPV = €2 194,43
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −15202 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca renty rosnącej
((1,04)/(1,08))9 = 0,712
PV = 9 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,712) = 64 797,69
NPV
NPV = 64 797,69 − 80 000 = −€15 202,31
Odpowiedź
NPV = −€15 202,31
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 894,4 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,04, N = 14
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €316,89
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,5775 = €577,48
Cena
P = €894,37
Odpowiedź
P = €894,37
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 4,591 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 40/1,08 = 37,04, t·PV = 37,04
t = 2: 40/1,166 = 34,29, t·PV = 68,59
t = 3: 40/1,26 = 31,75, t·PV = 95,26
t = 4: 40/1,36 = 29,40, t·PV = 117,60
t = 5: 1040/1,469 = 707,81, t·PV = 3 539,03
Duration
P = 840,29
D = 3 857,52/840,29 = 4,591
Odpowiedź
D = 4,591 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 12,46 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·14% + 0,1667·6%·(1 − 0,21) = 12,46%
Odpowiedź
WACC = 12,46%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10,86 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,4/(1 + 0,75·0,5) = 1,018
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,018·(1 + 0,75·0,6) = 1,476
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 1,476·6% = 10,86%
Odpowiedź
re = 10,86%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 13,59
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Odpowiedź
P = 0,06681
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 0,8047
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Wariancja
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Odpowiedź
σ = 0,8047
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 0,5788
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,6, Var(X) = 1,34, σX = 1,158
Zmiana liniowa
σY = |0,5|·1,158 = 0,5788
Odpowiedź
σY = 0,5788
Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·1,6 + 5 = 5,8.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,4648
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75
z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5
Pole pomiędzy
P = Φ(0,5) − Φ(−0,75) = 0,6915 − 0,2266 = 0,4648
Odpowiedź
P = 0,4648
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 71,7 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,75
z z tablicy
z ≈ 0,67
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 pkt
Odpowiedź
x = 71,7 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 125,8
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Margines błędu
E = 2,306·18/√9 = 13,84
Przedział
112 ± 13,84 → [98,16, 125,8]
Odpowiedź
górna granica = 125,8
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 2436
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·30/1)² = 2435
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 2436
Odpowiedź
n = 2436
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,189
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (14·9² + 10·5²)/24 = 57,67
sp = 7,594
Błąd standardowy
SE = 7,594·√(1/15 + 1/11) = 3,014
Statystyka testowa
t = (97,5 − 90,9)/3,014 = 2,189
Odpowiedź
t = 2,189
Przy df = 24 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,064; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 44
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 1,645)·5/3)² = 43,8
Zaokrąglij w górę
n = 44
Odpowiedź
n = 44
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9785
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 377/6 = 62,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 590,8
Współczynnik korelacji
r = 99,5/√(17,5·590,8) = 0,9785
Odpowiedź
r = 0,9785
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 9,238
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.