Renta wypłaca €8 000 na koniec każdego roku przez 12 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €8 000i = 10%n = 12
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €25 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €25 0004,8% / 12N = 48
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €20 000, działa przez 4 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €20 000M = €5 000n = 4r = 5%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €40 000 i przynosi €22 500, €16 000, €8 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €45 000 i przynosi €12 000, €18 000, €23 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 10 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €872, gdy rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 10P = €872YTM = 9%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €1 025. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 3P = €1 025
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €8 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €1 500 000 i długiem o wartości €2 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt akcji uprzywilejowanych 6,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €56,00 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 3%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 33, 44, 18, 54, 55.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 94?
μ = 70σ = 12x = 94
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 4 kul czerwonych i 4 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
4 / 4
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,4, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,4k = 2
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 55,5 a 67 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 55,5x2 = 67
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 15% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 3,4. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 72 obserwacji?
99%n₁ = 36E₁ = 3,4n₂ = 72
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 26E = 590%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 198,2 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 8n = 16
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 80 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 74 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 80n₁ = 200x₂ = 74n₂ = 200
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 24,5.
n = 6x = 24,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 54510 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3186)/0,1 = 6,814
Wartość bieżąca
PV = 8 000·6,814 = €54 509,53
Odpowiedź
PV = €54 509,53
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: I = 2527 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,004, N = 48
A = 25 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−48) = €573,47
Łączne odsetki
I = N·A − P = 48·573,5 − 25 000 = €2 526,57
Odpowiedź
I = €2 526,57
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 10640 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,05−4)/0,05 = 3,546
Zannualizowana cena zakupu
20 000/3,546 = 5 640,24
EAC
EAC = 5 640,24 + 5 000 = €10 640,24
Odpowiedź
EAC = €10 640,24
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 4,274 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 000 − 22 500 = −10 500
ΔCF2 = 18 000 − 16 000 = 2 000
ΔCF3 = 23 500 − 8 500 = 15 000
IRR różnicy
NPVΔ(4%) = 87,90
NPVΔ(5%) = −228,38
r* = 4,274%
Odpowiedź
r* = 4,274%
Sprawdzenie: przy 4,274% oba NPV wynoszą €3 790,34.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: c = 7,006 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,09)−10 = €422,41
Kupon
C = (872 − 422,41)/6,418 = €70,06
Oprocentowanie kuponu
c = 70,06/1000 = 7,006%
Odpowiedź
c = 7,006%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 7,047 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 025 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Rozwiąż numerycznie
P(7%) = €1 026,24, P(8%) = €1 000,00
YTM = 7,047%
Odpowiedź
YTM = 7,047%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,883 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2143
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Odpowiedź
P = 0,2143
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1612
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2
Pole pomiędzy
P = Φ(0,2) − Φ(−0,95) = 0,5793 − 0,1711 = 0,4082
Odpowiedź
P = 0,4082
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 244,8 g
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,15
z z tablicy
z ≈ −1,04
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Odpowiedź
x = 244,8 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 2,404
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(36/72) = 0,7071
Nowy margines
E₂ = 3,4·0,7071 = 2,404
Odpowiedź
E₂ = 2,404
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 74
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·26/5)² = 73,17
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 74
Odpowiedź
n = 74
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −0,9
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Statystyka testowa
t = (198,2 − 200)/2 = −0,9
Odpowiedź
t = −0,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 0,6165
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 80/200 = 0,4
p̂₂ = 74/200 = 0,37
p̂ = 154/400 = 0,385
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,385·0,615·(1/200 + 1/200)) = 0,04866
Statystyka testowa
z = (0,4 − 0,37)/0,04866 = 0,6165
Odpowiedź
z = 0,6165
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9884
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 337/5 = 67,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1401
Współczynnik korelacji
r = 234/√(40·1401) = 0,9884
Odpowiedź
r = 0,9884
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 93,67
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 562/6 = 93,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 675
Prosta regresji
b = 675/157,5 = 4,286
a = 93,67 − 4,286·24,5 = −11,33
ŷ = −11,33 + 4,286·x
Prognoza
ŷ = −11,33 + 4,286·24,5 = 93,67
Odpowiedź
ŷ = 93,67
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.