Renta wypłaca €2 000 na koniec każdego roku przez 8 lat. Stopa procentowa wynosi 6 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €2 000i = 6%n = 8
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 19 lat chcesz mieć €10 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €10 0004,8% / 12N = 228
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €60 000 i przynosi €20 500 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje dziś €80 000. Jego przepływ wynosi €9 000 na koniec roku 1 i rośnie o 4 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 8. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €9 000g = 4%n = 8r = 12%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 12 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 3%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 3%n = 12y0 = 5,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 8 lat. Kosztuje €1 312. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 8% (2×)n = 8P = €1 312
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,2 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,2. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,6. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 39, 12, 56, 10, 16, 53.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 178.
μ = 170σ = 20x = 178
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 6
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 7p = 0,1
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 164 a 190,95 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 190,95
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 25 elementów ma średnią 11 i odchylenie standardowe s = 18. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 25x̄ = 11s = 1899%t(24) = 2,797
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,8 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?
p ≈ 0,8E = 0,0495%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 194,5 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 194,5s = 15n = 36
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 100 pomiarów ma średnią 199,7. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 199,7σ = 8n = 10090%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 17?
n = 6ŷ = 17
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 12420 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6274)/0,06 = 6,21
Wartość bieżąca
PV = 2 000·6,21 = €12 419,59
Odpowiedź
PV = €12 419,59
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 26,94 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 20 500/1,08 = 18 981,48 → Σ = 18 981,48
rok 2: 20 500/1,166 = 17 575,45 → Σ = 36 556,93
rok 3: 20 500/1,26 = 16 273,56 → Σ = 52 830,49
rok 4: 20 500/1,36 = 15 068,11 → Σ = 67 898,60
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 7 169,51/15 068,11 = 3,476
Odpowiedź
DPB = 3,476 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,927 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −29683 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca renty rosnącej
((1,04)/(1,12))8 = 0,5527
PV = 9 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,5527) = 50 316,52
NPV
NPV = 50 316,52 − 80 000 = −€29 683,48
Odpowiedź
NPV = −€29 683,48
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 10,11 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €40,00, N = 16
Rozwiąż numerycznie
i = 1,748% na półrocze
YTM
YTM = 2·1,748% = 3,496%
Odpowiedź
YTM = 3,496%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,952 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,2/(1 + 0,742·0,2) = 1,045
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,045·(1 + 0,742·0,6) = 1,51
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 1,51·6% = 11,06%
Odpowiedź
re = 11,06%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 21,7
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (178 − 170)/20 = 0,4
Odpowiedź
z = 0,4
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,6651
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Odpowiedź
P = 0,6651
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,8503
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372
Dodaj
P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503
Odpowiedź
P = 0,8503
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9451
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85
Pole pomiędzy
P = Φ(1,85) − Φ(−2) = 0,9678 − 0,02275 = 0,9451
Odpowiedź
P = 0,9451
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 183,9 cm
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Powrót do x
x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm
Odpowiedź
x = 183,89 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 0,9308
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Margines błędu
E = 2,797·18/√25 = 10,07
Przedział
11 ± 10,07 → [0,9308, 21,07]
Odpowiedź
dolna granica = 0,9308
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,96²·0,8·0,2/0,04² = 384,2
Zaokrąglij w górę
n = 385
Odpowiedź
n = 385
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statystyka testowa
t = (194,5 − 200)/2,5 = −2,2
Odpowiedź
t = −2,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 201
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·8/√100 = 1,316
Granica przedziału
U = 199,7 + 1,316 = 201
Odpowiedź
U = 201
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9073
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 280/6 = 46,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47
Syy = Σ(y − ȳ)² = 153,3
Współczynnik korelacji
r = 47/√(17,5·153,3) = 0,9073
Odpowiedź
r = 0,9073
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 4,522
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 119/6 = 19,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48,5
Prosta regresji
b = −48,5/17,5 = −2,771
a = 19,83 − (−2,771)·3,5 = 29,53
ŷ = 29,53 − 2,771·x
Wyznacz x
x = (17 − 29,53)/(−2,771) = 4,522
Odpowiedź
x = 4,522
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.