Renta wypłaca €500 na koniec każdego roku przez 13 lat. Stopa procentowa wynosi 7 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €500i = 7%n = 13
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 6 lat. Konto daje 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €3004,2% / 12N = 72
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €250 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €23 000, a potem przepływ rośnie o 1 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 11 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €23 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €21 000, €18 000, €23 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 21 000CF2 = 18 000CF3 = 23 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 10 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 9%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 10,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 10y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €1 085. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 7P = €1 085
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 0,6 ma wymaganą stopę zwrotu 7,2%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 3%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 0,6re = 7,2%rf = 3%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 1,5. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1,1D/E = 1,5T = 30%rf = 1,5%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 27, 25, 12, 36, 50.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 172?
μ = 170σ = 5x = 172
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €3. Wygrywasz €6 z prawdopodobieństwem 0,25 i €60 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €3€6: p = 0,25€60: p = 0,01
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0150. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,0150
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 60% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 50 telefonów, średnia 119 h, znane odchylenie standardowe 16 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 127 h, znane odchylenie standardowe 10 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 9 uczniów, średni wynik 68, odchylenie standardowe 4,5. Grupa 2: 7 uczniów, średni wynik 57,2, odchylenie standardowe 10,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 9x̄₁ = 68s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 57,2s₂ = 10,5
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ < 80 przeprowadza się na poziomie α = 0.01 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 25. W rzeczywistości średnia wynosi 74.5. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 80μ = 74,5σ = 25n = 100α = 0,01
β = %
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 91?
n = 6ŷ = 91
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 4179 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,415)/0,07 = 8,358
Wartość bieżąca
PV = 500·8,358 = €4 178,83
Odpowiedź
PV = €4 178,83
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 24517 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 23 000/(0,11 − 0,01) = 230 000,00
NPV
NPV = 230 000,00 − 250 000 = −€20 000,00
Odpowiedź
NPV = −€20 000,00
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 25,58 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 352,00
NPV(30%) = −2 498,86
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Rozwiąż numerycznie
P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82
YTM = 5,504%
Odpowiedź
YTM = 5,504%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 10 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (7,2% − 3%)/0,6 = 7%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 3% + 7% = 10%
Odpowiedź
rm = 10%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 13,9 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1,1·(1 + 0,7·1,5) = 2,255
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1,5% + 2,255·5,5% = 13,9%
Odpowiedź
re = 13,9%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,29
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,4
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Odpowiedź
P = 0,3446
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 141
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 3 (p = 0,25), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,74)
Wartość oczekiwana
E(G) = 3·0,25 + 57·0,01 − 3·0,74 = −0,9 €
Odpowiedź
E(G) = −0,9 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 2,17
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,0150 = 0,9850
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9850 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 2,17
Odpowiedź
z = 2,17
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 176,3 cm
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,4
z z tablicy
z ≈ −0,25
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm
Odpowiedź
x = 176,3 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −14,5 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 119 − 127 = −8
Błąd standardowy
SE = √(16²/50 + 10²/80) = 2,524
Margines błędu
E = 2,576·2,524 = 6,502
Przedział
−8 ± 6,502 → [−14,5, −1,498]
Odpowiedź
dolna granica = −14,5 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −5,166 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (5·3,5² + 5·4²)/10 = 14,13
sp = 3,758
Margines błędu
E = 2,228·3,758·√(1/6 + 1/6) = 4,834
Przedział
−10 ± 4,834 → [−14,83, −5,166]
Odpowiedź
górna granica = −5,166 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,794
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (8·4,5² + 6·10,5²)/14 = 58,82
sp = 7,67
Błąd standardowy
SE = 7,67·√(1/9 + 1/7) = 3,865
Statystyka testowa
t = (68 − 57,2)/3,865 = 2,794
Odpowiedź
t = 2,794
Przy df = 14 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,145; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 55,01 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 25/√100 = 2,5
x̄c = 80 − 2,326·2,5 = 74,19
z przy prawdziwej średniej
z = (74,19 − 74,5)/2,5 = −0,126
Błąd II rodzaju
moc = P(Z < −0.126) = 44.99%
β = 100% − 44,99% = 55,01%
Odpowiedź
β = 55,01%
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,67
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 269/5 = 53,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 108,8
Współczynnik determinacji
r² = 27²/(10·108,8) = 0,67
Odpowiedź
r² = 0,67
Około 67% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 11,02
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 423/6 = 70,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357
Prosta regresji
b = 357/70 = 5,1
a = 70,5 − 5,1·7 = 34,8
ŷ = 34,8 + 5,1·x
Wyznacz x
x = (91 − 34,8)/5,1 = 11,02
Odpowiedź
x = 11,02
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.