Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €12 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 3 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €12 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 26 lat wpłacasz €1 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 6 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 26? Wyznacz FV.
A = €1 000i = 6%n = 26
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €36 000, €18 000, €27 000, €37 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt A kosztuje €20 000 i przynosi €11 000, €8 000, €4 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €30 000 i przynosi €8 000, €11 500, €15 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 4,5%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 12 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 8%) kosztuje €1 215. Emitent może ją wykupić przed terminem za 3 lat po cenie wykupu €1 080. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 8%P = €1 215cena wcześniejszego wykupu = €1 080wcześniejszy wykup za 3 lata
YTC = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 4 000 000 akcji po €11,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 31, 34, 19, 19, 47, 59.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 77,5?
μ = 100σ = 15x = 77,5
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 8
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 7p = 0,5k = 3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 250 a 256,25 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 256,25
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 64,5 h, znane odchylenie standardowe 12 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 50 h, znane odchylenie standardowe 3 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,01?
p = 0,5E = 0,0195%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 25 studentów ma średni wynik 104,8 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 104,8s = 20n = 25
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 28 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 100 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 28n₁ = 80x₂ = 100n₂ = 200
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (28,5, 124). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(28,5, 124)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 400000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,06)26 − 1)/0,06 = 59,16
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 1 000·59,16·1,06 = €62 705,77
Odpowiedź
FV = €62 705,77
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 26959 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 36 000/1,06 = 33 962,26
CF2/(1 + 0,06)2 = 18 000/1,124 = 16 019,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 27 000/1,191 = 22 669,72
CF4/(1 + 0,06)4 = 37 000/1,262 = 29 307,47
Zsumuj
NPV = €26 959,39
Odpowiedź
NPV = €26 959,39
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 4,415 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 8 000 − 11 000 = −3 000
ΔCF2 = 11 500 − 8 000 = 3 500
ΔCF3 = 15 500 − 4 500 = 11 000
IRR różnicy
NPVΔ(4%) = 130,29
NPVΔ(5%) = −180,33
r* = 4,415%
Odpowiedź
r* = 4,415%
Sprawdzenie: przy 4,415% oba NPV wynoszą €1 825,69.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1084 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €22,50, i = 0,0175, N = 20
Wartość bieżąca kuponów
€22,50·(1 − 0,7068)/0,0175 = €376,94
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7068 = €706,82
Cena
P = €1 083,76
Odpowiedź
P = €1 083,76
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTC = 2,989 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1215 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
Rozwiąż numerycznie
y = 2%: €1 248,42
y = 3%: €1 214,64
YTC = 2,989%
Odpowiedź
YTC = 2,989%
Rentowność do wykupu wynosi 5,505%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 11,06 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Odpowiedź
P = 0,06681
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7674
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Odpowiedź
P = 0,7674
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2734
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25
Pole pomiędzy
P = Φ(1,25) − Φ(0) = 0,8944 − 0,5 = 0,3944
Odpowiedź
P = 0,3944
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 182,7 cm
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Powrót do x
x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm
Odpowiedź
x = 182,72 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 17,67 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 64,5 − 50 = 14,5
Błąd standardowy
SE = √(12²/40 + 3²/80) = 1,927
Margines błędu
E = 1,645·1,927 = 3,17
Przedział
14,5 ± 3,17 → [11,33, 17,67]
Odpowiedź
górna granica = 17,67 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 9604
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604
Zaokrąglij w górę
n = 9604
Odpowiedź
n = 9604
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Statystyka testowa
t = (104,8 − 100)/4 = 1,2
Odpowiedź
t = 1,2
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,276
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 28/80 = 0,35
p̂₂ = 100/200 = 0,5
p̂ = 128/280 = 0,4571
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,4571·0,5429·(1/80 + 1/200)) = 0,0659
Statystyka testowa
z = (0,35 − 0,5)/0,0659 = −2,276
Odpowiedź
z = −2,276
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,7103
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 149/6 = 24,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 74,83
Współczynnik determinacji
r² = −30,5²/(17,5·74,83) = 0,7103
Odpowiedź
r² = 0,7103
Około 71,03% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −2,238
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 562/6 = 93,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 855
Prosta regresji
b = 855/157,5 = 5,429
a = 93,67 − 5,429·22,5 = −28,48
ŷ = −28,48 + 5,429·x
Wartość przewidywana
ŷ = −28,48 + 5,429·28,5 = 126,2
Reszta
e = 124 − 126,2 = −2,238
Odpowiedź
e = −2,238
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.