Inwestujesz €2 000 przy stopie 3 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 10 latach.
PV = €2 000r = 3%t = 10
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €8 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €8 0003,6% / 12N = 48
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €13 000, €8 000, €10 500, €7 500, €6 000 na koniec lat od 1 do 5. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €20 500, €35 000, €17 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 20 500CF2 = 35 000CF3 = 17 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 4,5%YTM = 5%n = 8
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €860. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 10P = €860
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.
Firma ma 5 000 000 akcji notowanych po €38,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €95 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €3,00 na akcję, a dywidendy rosną o 3% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €114 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 4%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 47, 31, 49, 20, 19, 24, 41.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 54?
μ = 50σ = 10x = 54
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 3 kul czerwonych i 8 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
3 / 8
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €2. Wygrywasz €8 z prawdopodobieństwem 0,15 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €2€8: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 248,75 a 257,5 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 250σ = 5x1 = 248,75x2 = 257,5
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 99% wszystkich wartości (99. percentyl).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 60 telefonów, średnia 117,5 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Model 2: 80 telefonów, średnia 113,5 h, znane odchylenie standardowe 5 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?
p = 0,5E = 0,0490%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 77,9 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,9s = 10n = 100
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 60 z 300 pacjentów leczonych metodą A i 40 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 40n₂ = 120
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 37?
n = 6ŷ = 37
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 2700 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wykładnik
r·t = 0,03·10 = 0,3
e0,3 = 1,35
Wartość przyszła
FV = 2 000·1,35 = €2 699,72
Odpowiedź
FV = €2 699,72
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 179,2 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 8 000·0,003/(1 − 0,8661) = €179,20
Odpowiedź
A = €179,20
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,502 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 13 000/1,08 = 12 037,04 → Σ = 12 037,04
rok 2: 8 000/1,166 = 6 858,71 → Σ = 18 895,75
rok 3: 10 500/1,26 = 8 335,24 → Σ = 27 230,99
rok 4: 7 500/1,36 = 5 512,72 → Σ = 32 743,71
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 2 769,01/5 512,72 = 3,502
Odpowiedź
DPB = 3,502 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,857 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 21,94 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(20%) = 1 516,20
NPV(25%) = −2 240,00
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €22,50, i = 0,025, N = 16
Wartość bieżąca kuponów
€22,50·(1 − 0,6736)/0,025 = €293,74
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,6736 = €673,62
Cena
P = €967,36
Odpowiedź
P = €967,36
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 6,993 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€860 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53
YTM = 6,993%
Odpowiedź
YTM = 6,993%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,2 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·13% + 0,2857·4%·(1 − 0,2) = 10,2%
Odpowiedź
WACC = 10,2%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,037 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,4
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Odpowiedź
P = 0,3446
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,05455
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455
Odpowiedź
P = 0,05455
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = 0,2 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 6 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Wartość oczekiwana
E(G) = 6·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = 0,2 €
Odpowiedź
E(G) = 0,2 €
Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5319
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25
z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5
Pole pomiędzy
P = Φ(1,5) − Φ(−0,25) = 0,9332 − 0,4013 = 0,5319
Odpowiedź
P = 0,5319
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 134,9 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Powrót do x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 pkt
Odpowiedź
x = 134,89 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −0,3458 h
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 117,5 − 113,5 = 4
Błąd standardowy
SE = √(20²/60 + 5²/80) = 2,642
Margines błędu
E = 1,645·2,642 = 4,346
Przedział
4 ± 4,346 → [−0,3458, 8,346]
Odpowiedź
dolna granica = −0,3458 h
Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 423
Przedział ufności dla frakcji: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), gdzie p̂ = x/n. Aby osiągnąć margines E, potrzebujesz n ≥ z²·p(1 − p)/E², zaokrąglone w górę; bez wstępnego oszacowania użyj p = 0,5, co daje największe n.
Wyznacz n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8
Zaokrąglij w górę
n = 423
Odpowiedź
n = 423
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,9
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Statystyka testowa
t = (77,9 − 75)/1 = 2,9
Odpowiedź
t = 2,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,898
Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 60/300 = 0,2
p̂₂ = 40/120 = 0,3333
p̂ = 100/420 = 0,2381
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,2381·0,7619·(1/300 + 1/120)) = 0,046
Statystyka testowa
z = (0,2 − 0,3333)/0,046 = −2,898
Odpowiedź
z = −2,898
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,969
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 579/5 = 115,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1587
Współczynnik determinacji
r² = 248²/(40·1587) = 0,969
Odpowiedź
r² = 0,969
Około 96,9% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 1,875
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 257/6 = 42,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99
Prosta regresji
b = 99/70 = 1,414
a = 42,83 − 1,414·6 = 34,35
ŷ = 34,35 + 1,414·x
Wyznacz x
x = (37 − 34,35)/1,414 = 1,875
Odpowiedź
x = 1,875
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.