Za 8 lat potrzebujesz €25 000. Konto daje 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €25 0006% / 12n = 8
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €8 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €8 0003,6% / 12N = 48
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €500 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €18 000, a potem przepływ rośnie o 4 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €18 000g = 4%r = 8%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €25 000, €18 000, €30 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 25 000CF2 = 18 000CF3 = 30 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 9 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 3% na 1%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 2%n = 9y1 = 3%y2 = 1%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €1 050. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 6P = €1 050
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej WACC wynosi 9,77%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 30%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €43,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.
β = 0,8rf = 2,5%rm = 8%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 48, 48, 51, 30, 26.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 102?
μ = 100σ = 5x = 102
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 7 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 7
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 5. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 100,75 a 115,75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 100σ = 15x1 = 100,75x2 = 115,75
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 10% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt10%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 36 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 7,6. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % z tych samych danych?
90%n₁ = 36E₁ = 7,695%
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 20 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 10,8 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 19 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 8,907, a 2,5 % powyżej 32,852.
n = 20s = 10,8 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 107 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 107s = 20n = 16
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 30 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 27 z 100 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 27n₂ = 100
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 15488 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·8 = 96
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,614 = €15 488,10
Odpowiedź
PV = €15 488,10
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 179,2 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 8 000·0,003/(1 − 0,8661) = €179,20
Odpowiedź
A = €179,20
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −50000 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 18 000/(0,08 − 0,04) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00
Odpowiedź
NPV = −€50 000,00
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 36,07 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(35%) = 588,32
NPV(40%) = −2 026,24
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 050 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Rozwiąż numerycznie
P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17
YTM = 5,984%
Odpowiedź
YTM = 5,984%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 12 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
Część dłużna WACC
0,2857·6%·(1 − 0,3) = 1,2%
Koszt kapitału własnego
re = (9,77% − 1,2%)/0,7143 = 12%
Odpowiedź
re = 12%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,796 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,4
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Odpowiedź
P = 0,6554
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7209
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Odpowiedź
P = 0,7209
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 2,245
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 2,8, Var(X) = 1,26, σX = 1,122
Zmiana liniowa
σY = |2|·1,122 = 2,245
Odpowiedź
σY = 2,245
Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·2,8 + 5 = 10,6.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,3332
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05
z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05
Pole pomiędzy
P = Φ(1,05) − Φ(0,05) = 0,8531 − 0,5199 = 0,3332
Odpowiedź
P = 0,3332
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 119,2 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,9
z z tablicy
z ≈ 1,28
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 1,28·15 = 119,2 pkt
Odpowiedź
x = 119,2 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 9,055
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/36) = 1,191
Nowy margines
E₂ = 7,6·1,191 = 9,055
Odpowiedź
E₂ = 9,055
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 15,77 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 19·10,8² = 2216
Granice dla σ²
2216/32,852 = 67,46
2216/8,907 = 248,8
Granica dla σ
σ = √248,8 = 15,77 µm
Odpowiedź
σ = 15,77 µm
Przedział 95 % dla σ: [8,213, 15,77] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,6
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Statystyka testowa
t = (107 − 120)/5 = −2,6
Odpowiedź
t = −2,6
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,498
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 30/200 = 0,15
p̂₂ = 27/100 = 0,27
p̂ = 57/300 = 0,19
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,19·0,81·(1/200 + 1/100)) = 0,04805
Statystyka testowa
z = (0,15 − 0,27)/0,04805 = −2,498
Odpowiedź
z = −2,498
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9372
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 371/5 = 74,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132
Syy = Σ(y − ȳ)² = 464,8
Współczynnik determinacji
r² = 132²/(40·464,8) = 0,9372
Odpowiedź
r² = 0,9372
Około 93,72% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 99,01
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 472/6 = 78,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 356
Prosta regresji
b = 356/70 = 5,086
a = 78,67 − 5,086·7 = 43,07
ŷ = 43,07 + 5,086·x
Prognoza
ŷ = 43,07 + 5,086·11 = 99,01
Odpowiedź
ŷ = 99,01
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.