Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €500 na koniec każdego roku przez 17 lat. Stopa procentowa wynosi 4 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €500i = 4%n = 17

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 22 lat. Konto daje 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €3004,8% / 12N = 264

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €25 000, €14 000, €15 000, €18 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 25 000CF₂ = 14 000CF₃ = 15 000CF₄ = 18 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €4 500, €5 000, €6 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 5 000CF₃ = 6 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 12 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €812, gdy rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 12P = €812YTM = 4%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 14 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%) kosztuje €1 164. Emitent może ją wykupić przed terminem za 5 lat po cenie wykupu €1 050. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 5%P = €1 164cena wcześniejszego wykupu = €1 050wcześniejszy wykup za 5 lata

YTC = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,75. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 25%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,75r_e = 11%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 000 000 akcji po €46,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 6%. Wyznacz WACC.

β = 1,1r_f = 1%r_m = 6%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 13, 58, 19, 42, 48, 26, 52.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 40. Wyznacz wynik z z dla wyniku 452.

μ = 500σ = 40x = 452

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X − 3. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35Y = 0,5X − 3

σ_Y =

13.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 250,25 a 251,25 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 250,25x₂ = 251,25

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 90% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 58 i odchylenie standardowe s = 2,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 9x̄ = 58s = 2,590%t(8) = 1,86

E =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 17. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 17E = 0,590%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

12 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 2,54, a odchylenie standardowe różnic 11. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 2,54s_d = 11

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 115,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 115,5σ = 15n = 6495%

U =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 42Σy = 156Σx² = 364Σy² = 4856Σxy = 1326

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 6083 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5134)/0,04 = 12,17

Wartość bieżąca

PV = 500·12,17 = €6 082,83

Odpowiedź

PV = €6 082,83

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 140160 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·22 = 264

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2,869 − 1)/0,004 = €140 159,96

Odpowiedź

FV = €140 159,96

Sam wpłaciłeś €79 200; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 2897 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 25 000/1,06 = 23 584,91

CF₂/(1 + 0,06)² = 14 000/1,124 = 12 459,95

CF₃/(1 + 0,06)³ = 15 000/1,191 = 12 594,29

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 18 000/1,262 = 14 257,69

Zsumuj

NPV = €2 896,83

Odpowiedź

NPV = €2 896,83

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 25,81 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 128,00

NPV(30%) = −621,30

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·128,00/(128,00 − (−621,30)) = 25,85%

dokładnie: NPV(25,81%) = 0 → IRR = 25,81%

Odpowiedź

IRR = 25,81%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 1,997 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,04)⁻¹² = €624,60

Kupon

C = (812 − 624,60)/9,385 = €19,97

Oprocentowanie kuponu

c = 19,97/1000 = 1,997%

Odpowiedź

c = 1,997%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 2,43 %

Równanie dla rentowności

1164 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1050/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

y = 2%: €1 186,69

y = 3%: €1 134,72

YTC = 2,43%

Odpowiedź

YTC = 2,43%

Rentowność do wykupu wynosi 3,498%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,571 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·11% + 0,4286·4%·(1 − 0,25) = 7,571%

Odpowiedź

WACC = 7,571%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,849 %

Wartości rynkowe

E = 2 000 000·€46,50 = €93 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 1,1·5% = 6,5%

Wagi

V = €113 400 000, E/V = 0,8201, D/V = 0,1799

WACC

WACC = 0,8201·6,5% + 0,1799·4%·(1 − 0,28) = 5,849%

Odpowiedź

WACC = 5,849%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,48

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 258/7 = 36,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−23,86)² + 21,14² + (−17,86)² + 5,143² + 11,14² + (−10,86)² + 15,14² = 1833

Odchylenie standardowe

s = √(1833/6) = 17,48

Odpowiedź

s = 17,48

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Standaryzuj

z = (452 − 500)/40 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 2,304

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,3

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16,2

Wariancja

Var(X) = 16,2 − 3,3² = 5,31

σ = √5,31 = 2,304

Odpowiedź

σ = 2,304

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 6

Rozrzut X

μ = 26, Var(X) = 144, σ_X = 12

Zmiana liniowa

σ_Y = |0,5|·12 = 6

Odpowiedź

σ_Y = 6

Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·26 − 3 = 10.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,07877

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Pole pomiędzy

P = Φ(0,25) − Φ(0,05) = 0,5987 − 0,5199 = 0,07877

Odpowiedź

P = 0,07877

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 243,6 g

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,1

z z tablicy

z ≈ −1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Odpowiedź

x = 243,6 g

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 1,55

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margines błędu

E = 1,86·2,5/√9 = 1,55

Odpowiedź

E = 1,55

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 3129

Wyznacz n

n = (1,645·17/0,5)² = 3128

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 3129

Odpowiedź

n = 3129

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,7999

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 11/√12 = 3,175

Statystyka testowa

t = 2,54/3,175 = 0,7999

Odpowiedź

t = 0,7999

Przy df = 11 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,201; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 119,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,96·15/√64 = 3,675

Granica przedziału

U = 115,5 + 3,675 = 119,2

Odpowiedź

U = 119,2

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9888

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1326 − 42·156/6 = 234

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 4856 − 156²/6 = 800

Współczynnik korelacji

r = 234/√(70·800) = 0,9888

Odpowiedź

r = 0,9888

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 21,62

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40

Prosta regresji

b = −40/17,5 = −2,286

a = 19,33 − (−2,286)·3,5 = 27,33

ŷ = 27,33 − 2,286·x

Prognoza

ŷ = 27,33 + (−2,286)·2,5 = 21,62

Odpowiedź

ŷ = 21,62

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income