Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 4 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 7 latach.
PV = €12 0004% / 4n = 7
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 16 lat chcesz mieć €75 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €75 0005,4% / 12N = 192
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €7 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 12 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt A kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €8 000, €4 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €30 000 i przynosi €8 500, €13 000, €15 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 5%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €1 030. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 3P = €1 030
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €28,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 6,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 6,5%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 15, 57, 17, 53, 45, 18, 38.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 110?
μ = 70σ = 20x = 110
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,35, 0,15, 0,3, 0,15
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 6p = 0,5k = 3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 169,95 a 185 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 178σ = 7x1 = 169,95x2 = 185
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 50 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 7,7. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 99 % opartego na 200 obserwacjach?
90%n₁ = 50E₁ = 7,799%n₂ = 200
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 8 poletek, średni plon 57 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Grupa poletek 2: 18 poletek, średnia 60 kg, odchylenie standardowe 8,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 16 studentów ma średni wynik 116,1 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,1s = 5n = 16
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 4E = 0,595%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 15855 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 7 500/1,12 = 6 696,43 → Σ = 6 696,43
rok 2: 7 500/1,254 = 5 978,95 → Σ = 12 675,38
rok 3: 7 500/1,405 = 5 338,35 → Σ = 18 013,73
rok 4: 7 500/1,574 = 4 766,39 → Σ = 22 780,12
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 1 986,27/4 766,39 = 3,417
Odpowiedź
DPB = 3,417 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,667 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 8,826 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 8 500 − 11 500 = −3 000
ΔCF2 = 13 000 − 8 000 = 5 000
ΔCF3 = 15 500 − 4 500 = 11 000
IRR różnicy
NPVΔ(8%) = 241,07
NPVΔ(9%) = −49,88
r* = 8,826%
Odpowiedź
r* = 8,826%
Sprawdzenie: przy 8,826% oba NPV wynoszą €813,84.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1117 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €25,00, i = 0,0125, N = 10
Wartość bieżąca kuponów
€25,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €233,64
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,8832 = €883,18
Cena
P = €1 116,82
Odpowiedź
P = €1 116,82
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 3,921 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 030 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Rozwiąż numerycznie
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,921%
Odpowiedź
YTM = 3,921%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,64 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·4%·(1 − 0,21) = 7,64%
Odpowiedź
WACC = 7,64%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,73 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wartości rynkowe
E = 5 000 000·€28,00 = €140 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2,5% + 0,6·4% = 4,9%
Wagi
V = €161 000 000, E/V = 0,8696, D/V = 0,1304
WACC
WACC = 0,8696·4,9% + 0,1304·5%·(1 − 0,28) = 4,73%
Odpowiedź
WACC = 4,73%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,93
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 1,428
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 20·0,53·0,53 = 20·0,125·0,125 = 0,3125
Odpowiedź
P = 0,3125
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7163
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15
z₂ = (185 − 178)/7 = 1
Pole pomiędzy
P = Φ(1) − Φ(−1,15) = 0,8413 − 0,1251 = 0,7163
Odpowiedź
P = 0,7163
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 56,58 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Powrót do x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 pkt
Odpowiedź
x = 56,58 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 6,029
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(50/200) = 0,783
Nowy margines
E₂ = 7,7·0,783 = 6,029
Odpowiedź
E₂ = 6,029
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 10,28 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (7·9² + 17·8,5²)/24 = 74,8
sp = 8,649
Margines błędu
E = 2,797·8,649·√(1/8 + 1/18) = 10,28
Odpowiedź
E = 10,28 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,12
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Statystyka testowa
t = (116,1 − 120)/1,25 = −3,12
Odpowiedź
t = −3,12
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 246
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,96·4/0,5)² = 245,9
Zaokrąglij w górę
n = 246
Odpowiedź
n = 246
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9281
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 484/6 = 80,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 857,3
Współczynnik determinacji
r² = 118²/(17,5·857,3) = 0,9281
Odpowiedź
r² = 0,9281
Około 92,81% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 16,3
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Prosta regresji
b = −30/10 = −3
a = 20,8 − (−3)·3 = 29,8
ŷ = 29,8 − 3·x
Prognoza
ŷ = 29,8 + (−3)·4,5 = 16,3
Odpowiedź
ŷ = 16,3
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.