Za 5 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €50 0003,6% / 4n = 5
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 21 lat wpłacasz €2 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 7 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 21? Wyznacz FV.
A = €2 000i = 7%n = 21
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €19 000, €18 000, €15 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €11 000, €11 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 14 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 5,5% na 4,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 5%n = 14y1 = 5,5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 4 latach, a jej cena wynosi €920. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 4P = €920
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 1,2 ma wymaganą stopę zwrotu 7,3%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 1,2re = 7,3%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 1 000 000 akcji po €35,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 5,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 35, 12, 27, 21, 19, 36.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 158?
μ = 170σ = 15x = 158
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 4
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 9p = 0,7
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 55,5 a 75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 55,5x2 = 75
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 5% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt5%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 25 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 4. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 225 obserwacji?
99%n₁ = 25E₁ = 4n₂ = 225
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 21E = 295%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 16 studentów ma średni wynik 68,25 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 68,25s = 15n = 16
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 2 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 7. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 95%δ = 2σ = 7zα = 1,645zβ = 1,645
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (18, 66). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(18, 66)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 41797 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·5 = 20
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,196 = €41 797,15
Odpowiedź
PV = €41 797,15
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 96011 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,07)21 − 1)/0,07 = 44,87
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 2 000·44,87·1,07 = €96 011,48
Odpowiedź
FV = €96 011,48
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 2379 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 19 000/1,05 = 18 095,24
CF2/(1 + 0,05)2 = 18 000/1,103 = 16 326,53
CF3/(1 + 0,05)3 = 15 000/1,158 = 12 957,56
Zsumuj
NPV = €2 379,33
Odpowiedź
NPV = €2 379,33
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 8,161 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 907,03
NPV(10%) = −495,87
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 5 + 5·907,03/(907,03 − (−495,87)) = 8,233%
dokładnie: NPV(8,161%) = 0 → IRR = 8,161%
Odpowiedź
IRR = 8,161%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = 99,06 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€920 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Rozwiąż numerycznie
P(8%) = €933,76, P(9%) = €902,81
YTM = 8,439%
Odpowiedź
YTM = 8,439%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 6,5 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (7,3% − 2,5%)/1,2 = 4%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 2,5% + 4% = 6,5%
Odpowiedź
rm = 6,5%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,569 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,8
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Odpowiedź
P = 0,2119
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5177
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Odpowiedź
P = 0,5177
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,000433
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
Dodaj
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
Odpowiedź
P = 0,000433
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,6703
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95
z₂ = (75 − 65)/10 = 1
Pole pomiędzy
P = Φ(1) − Φ(−0,95) = 0,8413 − 0,1711 = 0,6703
Odpowiedź
P = 0,6703
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 124,6 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,95
z z tablicy
z ≈ 1,64
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 1,64·15 = 124,6 pkt
Odpowiedź
x = 124,6 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 1,333
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/225) = 0,3333
Nowy margines
E₂ = 4·0,3333 = 1,333
Odpowiedź
E₂ = 1,333
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 424
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·21/2)² = 423,5
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 424
Odpowiedź
n = 424
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,8
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Statystyka testowa
t = (68,25 − 75)/3,75 = −1,8
Odpowiedź
t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 133
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((1,645 + 1,645)·7/2)² = 132,6
Zaokrąglij w górę
n = 133
Odpowiedź
n = 133
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9932
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 350/5 = 70
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 315
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1110
Współczynnik determinacji
r² = 315²/(90·1110) = 0,9932
Odpowiedź
r² = 0,9932
Około 99,32% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −3,9
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 399/5 = 79,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132
Prosta regresji
b = 132/40 = 3,3
a = 79,8 − 3,3·21 = 10,5
ŷ = 10,5 + 3,3·x
Wartość przewidywana
ŷ = 10,5 + 3,3·18 = 69,9
Reszta
e = 66 − 69,9 = −3,9
Odpowiedź
e = −3,9
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.