Renta wypłaca €1 500 na koniec każdego roku przez 8 lat. Stopa procentowa wynosi 7 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €1 500i = 7%n = 8
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €500 na koniec każdego miesiąca przez 5 lat. Konto daje 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €5003% / 12N = 60
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €50 000 i przynosi €14 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 000, €11 000, €8 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 6 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 9% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 7%YTM = 9%n = 7
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €980 przy rentowności do wykupu 3% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 6,5 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 25 punktów bazowych.
P0 = €980y = 3%D = 6,5Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej WACC wynosi 6,99%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 25,8%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Akcje firmy mają betę 0,9 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 65 a 75,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 65x2 = 75,5
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
U 6 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −7,3 i odchylenie standardowe 7,4. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 6d̄ = −7,3sd = 7,490%t(5) = 2,015
dolna granica = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 30 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 6,1 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 29 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 16,047, a 2,5 % powyżej 45,722.
n = 30s = 6,1 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 500; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 40. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 509,52. Przetestuj H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ ≠ 500. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 500σ = 40n = 100x̄ = 509,52H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 16 pomiarów ma średnią 190. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 190σ = 20n = 1690%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 13?
n = 6ŷ = 13
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 8957 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,582)/0,07 = 5,971
Wartość bieżąca
PV = 1 500·5,971 = €8 956,95
Odpowiedź
PV = €8 956,95
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 32323 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 14 000/1,08 = 12 962,96 → Σ = 12 962,96
rok 2: 14 000/1,166 = 12 002,74 → Σ = 24 965,71
rok 3: 14 000/1,26 = 11 113,65 → Σ = 36 079,36
rok 4: 14 000/1,36 = 10 290,42 → Σ = 46 369,78
rok 5: 14 000/1,469 = 9 528,16 → Σ = 55 897,94
Ułamek ostatniego roku
DPB = 4 + 3 630,22/9 528,16 = 4,381
Odpowiedź
DPB = 4,381 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,571 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 18,34 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
12 000·1,062 = 13 483,20
11 000·1,061 = 11 660,00
8 000·1,060 = 8 000,00
TV = 33 143,20
MIRR
MIRR = (33 143,20/20 000)1/3 − 1 = 18,34%
Odpowiedź
MIRR = 18,34%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 897,8 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €35,00, i = 0,045, N = 14
Wartość bieżąca kuponów
€35,00·(1 − 0,54)/0,045 = €357,80
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,54 = €539,97
Cena
P = €897,77
Odpowiedź
P = €897,77
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 964,5 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 6,5/1,03 = 6,311
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −6,311·(0,0025) = −1,578%
P ≈ 980·(1 − 0,01578) = €964,54
Odpowiedź
P = €964,54
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 7,995 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
Część dłużna WACC
0,2·4%·(1 − 0,258) = 0,5936%
Koszt kapitału własnego
re = (6,99% − 0,5936%)/0,8 = 7,995%
Odpowiedź
re = 7,995%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 9,812 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 0,9/(1 + 0,72·0,4) = 0,6988
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 0,6988·(1 + 0,72·1) = 1,202
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 1,202·6,5% = 9,812%
Odpowiedź
re = 9,812%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 15,55
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (165 − 170)/10 = −0,5
Odpowiedź
z = −0,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,3056
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Odpowiedź
P = 0,3056
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 3,09
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 2,75, Var(X) = 2,387, σX = 1,545
Zmiana liniowa
σY = |−2|·1,545 = 3,09
Odpowiedź
σY = 3,09
Średnia się przesuwa: E(Y) = −2·2,75 + 5 = −0,5.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,3531
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (65 − 65)/10 = 0
z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05
Pole pomiędzy
P = Φ(1,05) − Φ(0) = 0,8531 − 0,5 = 0,3531
Odpowiedź
P = 0,3531
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 56,58 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Powrót do x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 pkt
Odpowiedź
x = 56,58 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −13,39 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 5, t = 2,015
Margines błędu
E = 2,015·7,4/√6 = 6,087
Przedział
−7,3 ± 6,087 → [−13,39, −1,213]
Odpowiedź
dolna granica = −13,39 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 8,2 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 29·6,1² = 1079
Granice dla σ²
1079/45,722 = 23,6
1079/16,047 = 67,25
Granica dla σ
σ = √67,25 = 8,2 µm
Odpowiedź
σ = 8,2 µm
Przedział 95 % dla σ: [4,858, 8,2] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,01731
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (509,52 − 500)/4 = 2,38
Pole ogona
Φ(2,38) = 0,9913
1 − Φ(2,38) = 0,0087
Wartość p
p = 2·0,0087 = 0,01731
Odpowiedź
p = 0,01731
p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 198,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·20/√16 = 8,225
Granica przedziału
U = 190 + 8,225 = 198,2
Odpowiedź
U = 198,2
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,8811
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 1532 − 25·298/5 = 42
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 17988 − 298²/5 = 227,2
Współczynnik korelacji
r = 42/√(10·227,2) = 0,8811
Odpowiedź
r = 0,8811
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 3,837
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 85/6 = 14,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −60,5
Prosta regresji
b = −60,5/17,5 = −3,457
a = 14,17 − (−3,457)·3,5 = 26,27
ŷ = 26,27 − 3,457·x
Wyznacz x
x = (13 − 26,27)/(−3,457) = 3,837
Odpowiedź
x = 3,837
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.