Renta wypłaca €1 500 na koniec każdego roku przez 14 lat. Stopa procentowa wynosi 4 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €1 500i = 4%n = 14
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 18 lat chcesz mieć €100 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €100 0007,2% / 12N = 216
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €500 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €36 000, a potem przepływ rośnie o 3 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €36 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €10 000 i przynosi €6 000, €4 000, €2 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €15 000 i przynosi €4 500, €6 500, €7 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Kupujesz obligację z 12 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 4%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 12y0 = 4%y1 = 3%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 7 lat. Kosztuje €939. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 3% (2×)n = 7P = €939
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 9%. Jej dług stanowi 4 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%, 11 lat do wykupu), notowanych po €929 za sztukę. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 48, 29, 33, 43, 29, 43.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 40.
μ = 70σ = 20x = 40
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 11 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 11k = 3
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?
n = 7p = 0,3k = 5
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,2886. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,2886
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
U 13 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −7,2 i odchylenie standardowe 6,9. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.
n = 13d̄ = −7,2sd = 6,995%t(12) = 2,179
E = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 28. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 28E = 590%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 81 studentów ma średni wynik 199,4 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199,4s = 4n = 81
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 49 pomiarów ma średnią 205,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 205,8σ = 15n = 4995%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 15Σy = 131Σx² = 55Σy² = 3445Σxy = 384
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (22, 110). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(22, 110)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 15845 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5775)/0,04 = 10,56
Wartość bieżąca
PV = 1 500·10,56 = €15 844,68
Odpowiedź
PV = €15 844,68
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 227,2 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 36 000/(0,12 − 0,03) = 400 000,00
NPV
NPV = 400 000,00 − 500 000 = −€100 000,00
Odpowiedź
NPV = −€100 000,00
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 6,054 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 500 − 6 000 = −1 500
ΔCF2 = 6 500 − 4 000 = 2 500
ΔCF3 = 7 500 − 2 500 = 5 000
IRR różnicy
NPVΔ(6%) = 7,99
NPVΔ(7%) = −136,78
r* = 6,054%
Odpowiedź
r* = 6,054%
Sprawdzenie: przy 6,054% oba NPV wynoszą €1 309,65.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 12,91 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €15,00, N = 14
Rozwiąż numerycznie
i = 2,004% na półrocze
YTM
YTM = 2·2,004% = 4,008%
Odpowiedź
YTM = 4,008%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,929 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143
WACC
WACC = 0,2857·12% + 0,7143·3%·(1 − 0,3) = 4,929%
Odpowiedź
WACC = 4,929%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,759 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (40 − 70)/20 = −1,5
Odpowiedź
z = −1,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 165
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165
Odpowiedź
N = 165
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,025
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 5) = 21·0,35·0,72 = 21·0,00243·0,49 = 0,025
Odpowiedź
P = 0,025
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 0,37
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,2886)/2 = 0,6443
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,6443 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 0,37
Odpowiedź
z = 0,37
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9633
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Odpowiedź
P = 0,9633
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 4,17 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 12, t = 2,179
Margines błędu
E = 2,179·6,9/√13 = 4,17
Odpowiedź
E = 4,17 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 85
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·28/5)² = 84,86
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 85
Odpowiedź
n = 85
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,35
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Statystyka testowa
t = (199,4 − 200)/0,4444 = −1,35
Odpowiedź
t = −1,35
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 210
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,96·15/√49 = 4,2
Granica przedziału
U = 205,8 + 4,2 = 210
Odpowiedź
U = 210
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,7955
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 384 − 15·131/5 = −9
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 3445 − 131²/5 = 12,8
Współczynnik korelacji
r = −9/√(10·12,8) = −0,7955
Odpowiedź
r = −0,7955
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 2,167
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 647/6 = 107,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 449
Prosta regresji
b = 449/70 = 6,414
a = 107,8 − 6,414·22 = −33,28
ŷ = −33,28 + 6,414·x
Wartość przewidywana
ŷ = −33,28 + 6,414·22 = 107,8
Reszta
e = 110 − 107,8 = 2,167
Odpowiedź
e = 2,167
Punkt leży nad prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.