Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa
ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny
prąd = I1 − I2
Źródło prądu w oczku
wyznacza prąd tego oczka

Metoda

  1. Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
  2. Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
  3. W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
  4. Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia
zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu
rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Dzielnik prądu
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Metoda

  1. Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
  2. Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
  3. Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
  4. Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​2 ΩBR6​4 Ω

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 36 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 25 ΩR4 = 2 ΩR5 = 4 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
−+Vs​ = 9 VIs​4 AAR1​3 ΩR2​8 ΩB

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc VB − VA = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć potencjał węzła VA (mierzony względem masy).

Is = 4 AVs = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 8 Ω
VA = V
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 3 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB0,4·VA​

Romb to źródło prądu sterowane napięciem, które wpycha prąd 0,4·VA (w A, przy VA w V) w górę do węzła B. Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć potencjał węzła VA (mierzony względem masy).

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 30 ΩR4 = 12 Ωg = 0,4 A/V
VA = V
5.Metoda prądów oczkowychŚredni
R1​ = 4 ΩR2​ = 15 Ω+−V1​12 VR3​10 ΩIR3​A+−V2​24 VI1​I2​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR3 płynący przez R3 w kierunku strzałki.

V1 = 12 VV2 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 Ω
IR3 = A
6.Metoda prądów oczkowychTrudny
R1​ = 25 ΩR2​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR4​15 ΩAR5​20 ΩB+−V2​12 VI1​I2​I3​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I3 (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V1 = 6 VV2 = 12 VR1 = 25 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 ΩR5 = 20 Ω
I3 = A
7.SuperpozycjaŚredni
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBIs​2,5 A

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 6 VIs = 2,5 AR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
8.SuperpozycjaTrudny
R1​ = 30 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 6 Ω+−V1​10 VR3​12 ΩIR3​AIs​2 AB+−V2​?

Wyznacz wartość źródła napięcia V2 (biegunowość jak na rysunku), przy której prąd IR3 przez R3 jest równy zeru.

V1 = 10 VIs = 2 AR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
V2 = V
9.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩARL​8 ΩIL​B

Między a–b podłączono obciążenie RL = 8 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​1 ABab

Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V1 = 15 VIs = 1 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = −2 VRa​ = 10 kΩRb​ = 100 kΩ

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

Vin = −2 VRa = 10 kΩRb = 100 kΩR1 = 2 kΩRf = 4,7 kΩ
Vout = V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩV1​ = 0,3 VR1​ = 2 kΩV2​ = 0,6 VR2​ = 22 kΩ

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

V1 = 0,3 VV2 = 0,6 VR1 = 2 kΩR2 = 22 kΩRf = 4,7 kΩ
Vout = V
13.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​15 Vt = 0R = 50 ΩL10 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie vL na cewce w chwili t = 1 ms.

Vs = 15 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
14.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​6 Vt = 0R = 3,3 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 12,3 V? Wyznacz t.

Vs = 6 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 15 V
t = ms

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 18,61 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3,611 Ω
Req = R1 + 3,611 = 15 + 3,611 = 18,61 Ω

Odpowiedź

Req = 18,61 Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 1,971 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​2 ΩBR6​4 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 4 + 4 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 1,6 Ω
R3 + 1,6 = 26,6 Ω
R2 ∥ 26,6 = 8,269 Ω
Req = R1 + 8,269 = 10 + 8,269 = 18,27 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 36/18,27 = 1,971 A

Odpowiedź

IR1 = 1,971 A
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VA = 6,273 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

VB = VA + Vs = VA + 9
VA/R1 + VB/R2 = Is

Rozwiąż

VA/3 + (VA + 9)/8 = 4
VA = (4 − 9/8)/(1/3 + 1/8) = 6,273 V
VB = 6,273 + 9 = 15,27 V

Odpowiedź

VA = 6,273 V
4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VA = 6,462 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpychanemu do A przez źródła.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,4333·VA − 0,03333·VB = 2

PPK w węźle B

Źródło sterowane wpycha prąd g·VA do węzła B. Potraktuj je jak źródło niezależne, a potem przenieś wyraz z VA na lewą stronę.

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,4·VA
−0,4333·VA + 0,1167·VB = 0

Rozwiąż

Δ = (0,4333)(0,1167) − (−0,03333)(−0,4333) = 0,03611
VA = Δ1/Δ = 0,2333/0,03611 = 6,462 V
VB = Δ2/Δ = 0,8667/0,03611 = 24 V

Odpowiedź

VA = 6,462 V
5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR3 = 1,104 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 4 ΩR2​ = 15 Ω+−V1​12 VR3​10 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 10(I1 − I2) = 12
14·I1 − 10·I2 = 12

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
15·I2 + 10(I2 − I1) = (−24)
−10·I1 + 25·I2 = −24

Rozwiąż

Δ = (14)(25) − (−10)(−10) = 250
I1 = Δ1/Δ = 60/250 = 0,24 A
I2 = Δ2/Δ = −216/250 = −0,864 A

Odpowiedź

IR3 = I1 − I2 = 1,104 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I3 = −0,7855 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 25 ΩR2​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR4​15 ΩAR5​20 ΩB+−V2​12 VI1​I2​I3​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
25·I1 + 15(I1 − I2) = 6
40·I1 − 15·I2 = 6

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
15·I2 + 15(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 50·I2 − 20·I3 = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
3·I3 + 20(I3 − I2) = (−12)
−20·I2 + 23·I3 = −12

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 24825
I1 = Δ1/Δ = 900/24825 = 0,03625 A
I2 = Δ2/Δ = −7530/24825 = −0,3033 A
I3 = Δ3/Δ = −19500/24825 = −0,7855 A

Odpowiedź

I3 = −0,7855 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: IR1 = −0,375 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBROZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R3+R4 = 4+6 = 10 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 15·10/(15+10) = 6 Ω
VA = 6·6/(2+6) = 4,5 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 4,5·6/10 = 2,7 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (6 − 4,5)/2 = 0,75 A
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩZWARCIER2​15 ΩAR4​6 ΩBIs​2,5 A

Przypadek 2 · działa tylko Is

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.

R1 ∥ R2 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 6 ∥ 5,765 = 2,94 Ω
VB = Is·Req = 2,5·2,94 = 7,35 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 7,35·1,765/5,765 = 2,25 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 2,25)/2 = −1,125 A

Dodaj składowe

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 0,75 + (−1,125) = −0,375 A

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości prąd płynie przeciwnie do strzałki.

8.Superpozycja

Odpowiedź: V2 = 6 V

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 30 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 6 Ω+−V1​10 VR3​12 ΩAROZWARCIEBZWARCIE

Przypadek 1 · V1 działające samodzielnie

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 12 ∥ 18 = 7,2 Ω
VA = 10·7,2/(30+7,2) = 1,935 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 1,935·6/18 = 0,6452 V
R1​ = 30 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 6 ΩZWARCIER3​12 ΩAIs​2 ABZWARCIE

Przypadek 2 · Is działające samodzielnie

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃. Strzałka Iₛ wskazuje w dół, od jego węzła, więc Iₛ odprowadza prąd z tego węzła: jego wyraz wchodzi ze znakiem minus.

R1 ∥ R3 = 8,571 Ω, więc lewa gałąź to R2+8,571 = 20,57 Ω
Req = R4 ∥ 20,57 = 4,645 Ω
VB = −Is·Req = −2·4,645 = −9,29 V
VA = VB·8,571/20,57 = −3,871 V

Przypadek 3 · V2 działające samodzielnie, na wolt

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R1 ∥ R3 = 8,571 Ω
VA‴ = V2·8,571/(6 + 12 + 8,571) = 0,3226·V2

Przyrównaj VA do zera

Przy VA = 0 na R₃ nie ma napięcia, więc jego prąd jest równy zeru.

VA′ + VA″ + VA‴ = 1,935 + (−3,871) + 0,3226·V2 = 0
V2 = 1,935/0,3226 = 6 V

Odpowiedź

V2 = 6 V
9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: IL = 0,6486 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 ΩZWARCIER2​2 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 4·2/(4+2) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 3 = 4,333 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·2/(4+2) = 8 V
Rth​ = 4,333 Ω+−Vth​8 VRL​8 ΩIL​

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

IL = Vth/(Rth + RL) = 8/(4,333 + 8) = 0,6486 A
10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: IN = −0,7 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 ΩZWARCIER2​6 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 10 = 14,29 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + (−1)·4,286 = 0 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 0 + (−1)·10 = −10 V
IN​0,7 ARth​14,29 Ωab

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

IN = Vth/Rth = −10/14,29 = −0,7 A
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = −6,091 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściu +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −2·100/(10 + 100) = −1,818 V

Wzmocnienie nieodwracające

V₋ = V₊, a prąd płynący przez R₁ płynie też przez Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −1,818·(1 + 4,7/2) = −6,091 V

Odpowiedź

Vout = −6,091 V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = −0,8332 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I1 = V1/R1 = 0,3/2 = 0,15 mA
I2 = V2/R2 = 0,6/22 = 0,02727 mA
If = I1 + I2 = 0,1773 mA

Napięcie wyjściowe

Vout = −Rf·If = −4,7·0,1773 = −0,8332 V

Odpowiedź

Vout = −0,8332 V
13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vL = 0,1011 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0,3 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/0,2 = 0,1011 V

Odpowiedź

vL = 0,1011 V
14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 11,77 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 6 + (15 − 6)·e−t/τ

Wyznacz czas

12,3 = 6 + (9)·e−t/τ → e−t/τ = (12,3 − 6)/(15 − 6) = 0,7
t = τ·ln((15 − 6)/(12,3 − 6)) = 33·ln(1,429) = 11,77 ms

Odpowiedź

t = 11,77 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1