Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa
ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny
prąd = I1 − I2
Źródło prądu w oczku
wyznacza prąd tego oczka

Metoda

  1. Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
  2. Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
  3. W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
  4. Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia
zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu
rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Dzielnik prądu
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Metoda

  1. Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
  2. Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
  3. Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
  4. Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩIR2​AR4​3 ΩB

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​12 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 25 ΩR5 = 8 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
R1​10 Ω+−V1​9 VR2​4 Ω−+V2​18 VI2​R3​10 ΩA

Między węzłem A a masą są włączone trzy gałęzie, jak na rysunku. Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd I2 w gałęzi 2, płynący w górę do węzła A zgodnie ze strzałką.

V1 = 9 VR1 = 10 ΩV2 = 18 VR2 = 4 ΩR3 = 10 Ω
I2 = A
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 5 ΩIR1​R2​ = 30 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​6 VR3​15 ΩAR5​15 ΩBIs​1 A+−V2​6 V

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 6 VIs = 1 AV2 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 ΩR5 = 15 Ω
IR1 = A
5.Metoda prądów oczkowychŚredni
R1​ = 2 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​18 VR3​5 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I1 (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V1 = 18 VV2 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 Ω
I1 = A
6.Metoda prądów oczkowychTrudny
R1​ = 2 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 6 ΩIR3​+−V1​9 VR4​12 ΩAR5​12 ΩB+−V2​36 VI1​I2​I3​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR3 płynący przez R3 w kierunku strzałki.

V1 = 9 VV2 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 ΩR5 = 12 Ω
IR3 = A
7.SuperpozycjaŚredni
obwód liniowyVs​Is​IRL​

Liniowy obwód rezystancyjny zawiera jedno źródło napięcia Vs i jedno źródło prądu Is. Prąd I przez rezystor obciążenia zmierzono dwukrotnie: przy Vs = 10 V i Is = 3 mA I = 9,2 mA; przy Vs = 20 V i Is = 10 mA I = 20 mA. Wyznacz prąd obciążenia I, gdy Vs = 2 V i Is = 2 mA.

10 V, 3 mA → 9,2 mA20 V, 10 mA → 20 mAVs = 2 V, Is = 2 mA
I = mA
8.SuperpozycjaTrudny
R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩIR2​R4​ = 20 Ω+−V1​12 VR3​6 ΩAIs​3 AB+−V2​30 V

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd IR2 płynący przez R2 w kierunku strzałki.

V1 = 12 VIs = 3 AV2 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
9.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAab

Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
10.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​1 ABab

Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.

V1 = 36 VIs = 1 AR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 47 kΩVin​

Dobierz rezystor sprzężenia zwrotnego Rf, który da temu wzmacniaczowi nieodwracającemu wzmocnienie napięciowe 6.

R1 = 47 kΩAv = 6
Rf = kΩ
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 1,6 VR1​ = 2 kΩV2​ = 0,3 VR3​ = 22 kΩR4​ = 100 kΩ

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Stosunki rezystorów nie są dopasowane. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

V1 = 1,6 VV2 = 0,3 VR1 = 2 kΩR2 = 2 kΩR3 = 22 kΩR4 = 100 kΩ
Vout = V
13.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​15 Vt = 0R = 50 ΩL47 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

Vs = 15 VR = 50 ΩL = 47 mH
W(∞) = mJ
14.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​15 Vt = 0R = 6,8 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 4 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 400 ms.

Vs = 15 VR = 6,8 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 Vt = 400 ms
vC = V

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,5563 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​3 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 4 + 3 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 6·7/(6+7) = 3,231 Ω
Req = R1 + 3,231 = 20 + 3,231 = 23,23 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 24/23,23 = 1,033 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,033·20 = 3,338 V
IR2 = VA/R2 = 3,338/6 = 0,5563 A

Odpowiedź

IR2 = 0,5563 A
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,7645 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​25 ΩBR6​12 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 8 + 12 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 11,11 Ω
R3 + 11,11 = 14,11 Ω
R2 ∥ 14,11 = 3,692 Ω
Req = R1 + 3,692 = 5 + 3,692 = 8,692 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 9/8,692 = 1,035 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1,035·5 = 3,823 V
IR2 = VA/R2 = 3,823/5 = 0,7645 A

Odpowiedź

IR2 = 0,7645 A
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I2 = −2,5 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

PPK w węźle A

Przyjmij dolny przewód jako masę. Każda gałąź odprowadza z A prąd (VA − Vk)/Rk, gdzie Vk to napięcie jej źródła (zero dla samego rezystora). Prądy wypływające z A sumują się do zera.

(VA − 9)/10 + (VA − (−18))/4 + VA/10 = 0

Wyznacz VA

VA = (9/10 + (−18)/4 + 0/10) / (1/10 + 1/4 + 1/10) = −3,6/0,45 = −8 V

Prąd gałęzi

Strzałka wskazuje w górę wzdłuż gałęzi, do węzła A.

I2 = ((−18) − VA)/R2 = ((−18) − (−8))/4 = −2,5 A

Odpowiedź

I2 = −2,5 A

Wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty prąd płynie przeciwnie do strzałki.

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: IR1 = 0,1979 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

R1​ = 5 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​6 VR3​15 ΩAR5​15 ΩBIs​1 A+−V2​6 V

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V1 = 6 V, V2 = 6 V). Niewiadome: VA, VB.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/15 + (VA − 6)/5 + (VA − VB)/30 = 0
0,3·VA − 0,03333·VB = 1,2

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/30 + (VB − 6)/12 = 1
−0,03333·VA + 0,1833·VB = 1,5

Rozwiąż

Δ = (0,3)(0,1833) − (−0,03333)(−0,03333) = 0,05389
VA = Δ1/Δ = 0,27/0,05389 = 5,01 V
VB = Δ2/Δ = 0,49/0,05389 = 9,093 V

Odpowiedź

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (6 − 5,01)/5 = 0,1979 A
5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I1 = 2,667 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 2 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​18 VR3​5 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
2·I1 + 5(I1 − I2) = 18
7·I1 − 5·I2 = 18

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
20·I2 + 5(I2 − I1) = (−10)
−5·I1 + 25·I2 = −10

Rozwiąż

Δ = (7)(25) − (−5)(−5) = 150
I1 = Δ1/Δ = 400/150 = 2,667 A
I2 = Δ2/Δ = 20/150 = 0,1333 A

Odpowiedź

I1 = 2,667 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR3 = −2,353 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 2 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR4​12 ΩAR5​12 ΩB+−V2​36 VI1​I2​I3​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
2·I1 + 12(I1 − I2) = 9
14·I1 − 12·I2 = 9

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
25·I2 + 12(I2 − I1) + 12(I2 − I3) = 0
−12·I1 + 49·I2 − 12·I3 = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
6·I3 + 12(I3 − I2) = (−36)
−12·I2 + 18·I3 = −36

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 7740
I1 = Δ1/Δ = 1458/7740 = 0,1884 A
I2 = Δ2/Δ = −4104/7740 = −0,5302 A
I3 = Δ3/Δ = −18216/7740 = −2,353 A

Odpowiedź

IR3 = I3 = −2,353 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: I = 2,4 mA

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Zapisz odpowiedź jako sumę wkładów

Każdy wkład jest proporcjonalny do własnego źródła, ze stałą zależną tylko od rezystorów.

I = k₁·Vs + k₂·Is
10·k₁ + 3·k₂ = 9,2
20·k₁ + 10·k₂ = 20

Wyznacz stałe

Δ = (10)(10) − (3)(20) = 40
k₁ = Δ1/Δ = 32/40 = 0,8
k₂ = Δ2/Δ = 16/40 = 0,4
k₁ = 0,8 mA/V, k₂ = 0,4

Przewidź nowy prąd

I = 0,8·2 + 0,4·2 = 2,4 mA

Odpowiedź

I = 2,4 mA
8.Superpozycja

Odpowiedź: IR2 = −3,143 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​12 VR3​6 ΩAROZWARCIEBZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 6 ∥ 23 = 4,759 Ω
VA = 12·4,759/(30+4,759) = 1,643 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 1,643·20/23 = 1,429 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (1,643 − 1,429)/3 = 0,07143 A
R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 20 ΩZWARCIER3​6 ΩAIs​3 ABZWARCIE

Przypadek 2 · działa tylko Is

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 5 Ω, więc lewa gałąź to R2+5 = 8 Ω
Req = R4 ∥ 8 = 5,714 Ω
VB = Is·Req = 3·5,714 = 17,14 V
VA = VB·5/8 = 10,71 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (10,71 − 17,14)/3 = −2,143 A
R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 20 ΩZWARCIER3​6 ΩAROZWARCIEB+−V2​30 V

Przypadek 3 · działa tylko V2

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R1 ∥ R3 = 30·6/(30+6) = 5 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 30·8/28 = 8,571 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 8,571·5/8 = 5,357 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (5,357 − 8,571)/3 = −1,071 A

Dodaj składowe

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴
IR2 = 0,07143 + (−2,143) + (−1,071) = −3,143 A

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości prąd płynie przeciwnie do strzałki.

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Vth = 6 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩZWARCIER2​6 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 12 = 15 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·6/(6+6) = 6 V
10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Vth = 22,17 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 25 ΩR3​ = 12 ΩZWARCIER2​5 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 25·5/(25+5) = 4,167 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,167 + 12 = 16,17 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + 1·4,167 = 10,17 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10,17 + 1·12 = 22,17 V
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Rf = 235 kΩ

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

V₋ = V₊ = Vin, a prąd przez R₁ płynie też przez Rf, więc Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (6 − 1)·47 = 235 kΩ

Odpowiedź

Rf = 235 kΩ
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = −1,108 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściu +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0,3·100/(22 + 100) = 0,2459 V

Superpozycja obu wejść

Przy V₂ = 0 V₁ widzi wzmacniacz odwracający. Przy V₁ = 0 V₊ jest wzmacniane przez wzmocnienie nieodwracające 1 + R₂/R₁.

Vout = −(2/2)·1,6 + (1 + 2/2)·0,2459 = −1,6 + 0,4918 = −1,108 V

Odpowiedź

Vout = −1,108 V
13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 2,115 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0,94 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0,3 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·0,3² = 2,115 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 2,115 mJ
14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 10,37 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms
vC(t) = 15 + (4 − 15)·e−t/τ

Napięcie w danej chwili

vC(400) = 15 + (−11)·e−400/462,4 = 10,37 V

Odpowiedź

vC = 10,37 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1