Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa
ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny
prąd = I1 − I2
Źródło prądu w oczku
wyznacza prąd tego oczka

Metoda

  1. Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
  2. Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
  3. W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
  4. Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia
zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu
rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Dzielnik prądu
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Metoda

  1. Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
  2. Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
  3. Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
  4. Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​20 ΩB

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 6 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
−+Vs​ = 12 VIs​2,5 AAR1​12 ΩR2​12 ΩB

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc VB − VA = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć potencjał węzła VB (mierzony względem masy).

Is = 2,5 AVs = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 12 Ω
VB = V
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​30 ΩBIs​?

Źródło prądu jest regulowane, aż potencjał węzła A osiągnie VA = 36 V. Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd źródła Is (kierunek jak na rysunku).

V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 30 ΩVA = 36 V
Is = A
5.Metoda prądów oczkowychŚredni
R1​ = 3 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I2 (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V1 = 15 VV2 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 Ω
I2 = A
6.Metoda prądów oczkowychTrudny
R1​ = 2 ΩR2​ = 20 ΩIR2​R3​ = 6 Ω+−V1​9 VR4​12 ΩAR5​30 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR2 płynący przez R2 w kierunku strzałki.

V1 = 9 VV2 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 Ω
IR2 = A
7.SuperpozycjaŚredni
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩIR3​+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBIs​1,5 A

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd IR3 płynący przez R3 w kierunku strzałki.

V1 = 12 VIs = 1,5 AR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR3 = A
8.SuperpozycjaTrudny
R1​ = 8 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​15 VR3​8 Ω+−VR3​AIs​1,5 AB+−V2​10 V

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć napięcie VR3 na R3 o zaznaczonej biegunowości.

V1 = 15 VIs = 1,5 AV2 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ω
VR3 = V
9.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab

Wyznacz rezystancję Thévenina Rth widzianą z zacisków a–b.

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​2,5 ABab

Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.

V1 = 12 VIs = 2,5 AR1 = 25 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = −0,4 V

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

Vin = −0,4 VR1 = 2 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
Vin​V1​Vout​stopień 1: odwracającyR1​ = 2 kΩRf1​ = 22 kΩstopień 2: nieodwracającyR2​ = 100 kΩRf2​ = 22 kΩ

Dwa stopnie z idealnymi wzmacniaczami operacyjnymi są połączone kaskadowo: wzmacniacz odwracający (R1, Rf1), a za nim wzmacniacz nieodwracający (R2 do masy, Rf2 w sprzężeniu zwrotnym). Oba są zasilane napięciem ±15 V. Napięcie wejściowe wynosi Vin = −0,85 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

R1 = 2 kΩRf1 = 22 kΩR2 = 100 kΩRf2 = 22 kΩVin = −0,85 V
Vout = V
13.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​10 Vt = 0R = 10 ΩL150 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 25 ms.

Vs = 10 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 25 ms
i = A
14.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​15 VR1​ = 20 ΩR2​ = 5 Ωzamyka się w t = 0L100 mHi(t)

Łącznik równoległy do R2 był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R2. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 0,645 A? Wyznacz t.

Vs = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩL = 100 mH
t = ms

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 0,7434 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​20 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 5·23/(5+23) = 4,107 Ω
Req = R1 + 4,107 = 8 + 4,107 = 12,11 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 9/12,11 = 0,7434 A

Odpowiedź

IR1 = 0,7434 A
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 12,54 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 6 + 12 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 4,5 Ω
R3 + 4,5 = 16,5 Ω
R2 ∥ 16,5 = 2,538 Ω
Req = R1 + 2,538 = 10 + 2,538 = 12,54 Ω

Odpowiedź

Req = 12,54 Ω
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VB = 21 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

VB = VA + Vs = VA + 12
VA/R1 + VB/R2 = Is

Rozwiąż

VA/12 + (VA + 12)/12 = 2,5
VA = (2,5 − 12/12)/(1/12 + 1/12) = 9 V
VB = 9 + 12 = 21 V

Odpowiedź

VB = 21 V
4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: Is = 5,2 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

PPK w węźle A

VA jest znane, więc to równanie daje VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(36 − 30)/5 + 36/20 = (VB − 36)/10
3 = (VB − 36)/10 → VB = 66 V

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpychanemu do B przez źródła.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (66 − 36)/10 + 66/30 = 5,2 A

Odpowiedź

Is = 5,2 A
5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I2 = 0,2941 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 3 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
3·I1 + 15(I1 − I2) = 15
18·I1 − 15·I2 = 15

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
6·I2 + 15(I2 − I1) = (−10)
−15·I1 + 21·I2 = −10

Rozwiąż

Δ = (18)(21) − (−15)(−15) = 153
I1 = Δ1/Δ = 165/153 = 1,078 A
I2 = Δ2/Δ = 45/153 = 0,2941 A

Odpowiedź

I2 = 0,2941 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR2 = −0,4599 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 2 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR4​12 ΩAR5​30 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
2·I1 + 12(I1 − I2) = 9
14·I1 − 12·I2 = 9

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 12(I2 − I1) + 30(I2 − I3) = 0
−12·I1 + 62·I2 − 30·I3 = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
6·I3 + 30(I3 − I2) = (−24)
−30·I2 + 36·I3 = −24

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 13464
I1 = Δ1/Δ = 3348/13464 = 0,2487 A
I2 = Δ2/Δ = −6192/13464 = −0,4599 A
I3 = Δ3/Δ = −14136/13464 = −1,05 A

Odpowiedź

IR2 = I2 = −0,4599 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: IR3 = 0,4706 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBROZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R3+R4 = 6+12 = 18 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 15·18/(15+18) = 8,182 Ω
VA = 12·8,182/(15+8,182) = 4,235 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 4,235·12/18 = 2,824 V
IR3′ = (VB − VA)/R3 = (2,824 − 4,235)/6 = −0,2353 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩZWARCIER2​15 ΩAR4​12 ΩBIs​1,5 A

Przypadek 2 · działa tylko Is

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.

R1 ∥ R2 = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 13,5 = 6,353 Ω
VB = Is·Req = 1,5·6,353 = 9,529 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 9,529·7,5/13,5 = 5,294 V
IR3″ = (VB − VA)/R3 = (9,529 − 5,294)/6 = 0,7059 A

Dodaj składowe

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = (−0,2353) + 0,7059 = 0,4706 A

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości prąd płynie przeciwnie do strzałki.

8.Superpozycja

Odpowiedź: VR3 = 4,265 V

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 8 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​15 VR3​8 ΩAROZWARCIEBZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 30 = 6,316 Ω
VA = 15·6,316/(8+6,316) = 6,618 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 6,618·20/30 = 4,412 V
VR3′ = VA − 0 = 6,618 − 0 = 6,618 V
R1​ = 8 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 20 ΩZWARCIER3​8 ΩAIs​1,5 ABZWARCIE

Przypadek 2 · działa tylko Is

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4 Ω, więc lewa gałąź to R2+4 = 14 Ω
Req = R4 ∥ 14 = 8,235 Ω
VB = Is·Req = (−1,5)·8,235 = −12,35 V
VA = VB·4/14 = −3,529 V
VR3″ = VA − 0 = −3,529 − 0 = −3,529 V
R1​ = 8 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 20 ΩZWARCIER3​8 ΩAROZWARCIEB+−V2​10 V

Przypadek 3 · działa tylko V2

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R1 ∥ R3 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 10·14/34 = 4,118 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 4,118·4/14 = 1,176 V
VR3‴ = VA − 0 = 1,176 − 0 = 1,176 V

Dodaj składowe

VR3 = VR3′ + VR3″ + VR3‴
VR3 = 6,618 + (−3,529) + 1,176 = 4,265 V

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości biegunowość jest odwrotna do zaznaczonej.

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Rth = 16,8 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 ΩZWARCIER2​8 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,8 + 12 = 16,8 Ω
10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Vth = 51,29 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 25 ΩR3​ = 12 ΩZWARCIER2​10 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 25·10/(25+10) = 7,143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,143 + 12 = 19,14 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,429 + 2,5·7,143 = 21,29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21,29 + 2,5·12 = 51,29 V
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = −9,8 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wejście odwracające podąża za wejściem

V₋ = V₊ = −0,4 V
I = V₋/R1 = −0,4/2 = −0,2 mA

Napięcie wyjściowe

Prąd przez R₁ płynie też przez Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = −0,4 + (−0,2)·47 = −9,8 V

Odpowiedź

Vout = −9,8 V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = 11,41 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie każdego stopnia

A1 = −Rf1/R1 = −22/2 = −11
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 22/100 = 1,22

Stopień po stopniu

V1 = −11·(−0,85) = 9,35 V
Vout = 1,22·9,35 = 11,41 V

Odpowiedź

Vout = 11,41 V
13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,8111 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms
i(∞) = Vs/R = 10/10 = 1 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1·(1 − e−25/15) = 0,8111 A

Odpowiedź

i = 0,8111 A
14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1,783 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 15/(20 + 5) = 0,6 A
i(∞) = 15/20 = 0,75 A
τ = L/R = 100/20 = 5 ms
i(t) = 0,75 + (0,6 − 0,75)·e−t/τ

Wyznacz czas

e−t/τ = (0,645 − 0,75)/(0,6 − 0,75) = 0,7
t = 5·ln(1,429) = 1,783 ms

Odpowiedź

t = 1,783 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1