Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa: ΣI_in = ΣI_out
Prąd gałęzi: I = (V_a − V_b)/R
Węzeł odniesienia: V_ground = 0

Metoda

Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (V_a − V_b)/R.
Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa: ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny: prąd = I₁ − I₂
Źródło prądu w oczku: wyznacza prąd tego oczka

Metoda

Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia: zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu: rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Dzielnik prądu: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Metoda

Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć moc P_Is oddawaną przez źródło prądu I_s.

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

P_Is = W

4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd I_R1 płynący przez R₁ w kierunku strzałki.

V₁ = 36 VI_s = 5 AV₂ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Metoda prądów oczkowychŚredni

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd I_R3 płynący przez R₃ w kierunku strzałki.

V₁ = 30 VV₂ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 Ω

I_R3 = A

6.Metoda prądów oczkowychTrudny

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I₂ (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 Ω

I₂ = A

7.SuperpozycjaŚredni

Korzystając z superpozycji, wyznacz moc P_R3 pobieraną przez R₃.

V₁ = 12 VI_s = 5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

P_R3 = W

8.SuperpozycjaTrudny

Liniowy obwód rezystancyjny zawiera trzy niezależne źródła: V₁, V₂ i I_s. Prąd I przez obciążenie zmierzono trzy razy. Przy wszystkich źródłach o wartościach normalnych I = 10,5 mA. Po podwojeniu V₁ przy niezmienionych pozostałych dwóch I = 14,5 mA. Po odwróceniu kierunku I_s przy niezmienionych pozostałych dwóch I = −1,5 mA. Wyznacz prąd obciążenia I, gdy V₂ jest wyłączone, a V₁ i I_s mają wartości normalne.

wartości normalne: I = 10,5 mA2·V₁: I = 14,5 mA−I_s: I = −1,5 mA

I = mA

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

10.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Dobierz rezystor sprzężenia zwrotnego R_f, który da temu wzmacniaczowi nieodwracającemu wzmocnienie napięciowe 6.

R₁ = 1 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Układ całkujący wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V; jego wyjście nasyca się przy ±12 V. Kondensator jest rozładowany, gdy w t = 0 zostaje przyłożone stałe napięcie wejściowe V_in = 2 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out w chwili t = 0,5 ms.

V_in = 2 VR = 1 kΩC = 0,1 µFV_sat = ±12 Vt = 0,5 ms

V_out = V

13.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 75% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

14.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 1,65 A? Wyznacz t.

V_s = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩL = 47 mH

t = ms

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,5679 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω

R_eq = R₁ + 2,609 = 15 + 2,609 = 17,61 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/17,61 = 0,5679 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,5679 A

2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,3939 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 5 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 5,469 Ω

R₃ + 5,469 = 30,47 Ω

R₂ ∥ 30,47 = 13,73 Ω

R_eq = R₁ + 13,73 = 3 + 13,73 = 16,73 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/16,73 = 0,7172 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,7172·3 = 9,848 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,848/25 = 0,3939 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,3939 A

3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: P_Is = 142,9 W

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/8 + (V_A − 15)/2 + (V_A − V_B)/10 = 0

0,725·V_A − 0,1·V_B = 7,5

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/10 = 5

−0,1·V_A + 0,225·V_B = 5

Rozwiąż

Δ = (0,725)(0,225) − (−0,1)(−0,1) = 0,1531

V_A = Δ₁/Δ = 2,188/0,1531 = 14,29 V

V_B = Δ₂/Δ = 4,375/0,1531 = 28,57 V

Moc oddawana przez źródło prądu

Źródło wpycha Iₛ w górę do węzła B, od masy (0 V) do V_B. Źródło, którego prąd wypływa z zacisku +, oddaje moc P = V·I.

P_Is = V_B·I_s = 28,57·5 = 142,9 W

Odpowiedź

P_Is = 142,9 W

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I_R1 = 1,43 A

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V₁ = 36 V, V₂ = −30 V). Niewiadome: V_A, V_B.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/10 + (V_A − 36)/20 + (V_A − V_B)/30 = 0

0,1833·V_A − 0,03333·V_B = 1,8

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/30 + (V_B − (−30))/2 = 5

−0,03333·V_A + 0,7333·V_B = −10

Rozwiąż

Δ = (0,1833)(0,7333) − (−0,03333)(−0,03333) = 0,1333

V_A = Δ₁/Δ = 0,9867/0,1333 = 7,4 V

V_B = Δ₂/Δ = −1,773/0,1333 = −13,3 V

Odpowiedź

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (36 − 7,4)/20 = 1,43 A

5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I_R3 = 2,053 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 30

18·I₁ − 10·I₂ = 30

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−24)

−10·I₁ + 14·I₂ = −24

Rozwiąż

Δ = (18)(14) − (−10)(−10) = 152

I₁ = Δ₁/Δ = 180/152 = 1,184 A

I₂ = Δ₂/Δ = −132/152 = −0,8684 A

Odpowiedź

I_R3 = I₁ − I₂ = 2,053 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I₂ = −0,1651 A

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂, I₃. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 9

7·I₁ − 2·I₂ = 9

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 15(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 47·I₂ − 15·I₃ = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 15(I₃ − I₂) = (−18)

−15·I₂ + 30·I₃ = −18

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 8175

I₁ = Δ₁/Δ = 10125/8175 = 1,239 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1350/8175 = −0,1651 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5580/8175 = −0,6826 A

Odpowiedź

I₂ = −0,1651 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: P_R3 = 31,98 W

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R₃+R₄ = 6+10 = 16 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·16/(6+16) = 4,364 Ω

V_A = 12·4,364/(8+4,364) = 4,235 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4,235·10/16 = 2,647 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (4,235 − 2,647)/6 = 0,2647 A

Przypadek 2 · działa tylko I_s

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.

R₁ ∥ R₂ = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 9,429 = 4,853 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·4,853 = 24,26 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 24,26·3,429/9,429 = 8,824 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (8,824 − 24,26)/6 = −2,574 A

Zsumuj wkłady prądu

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ = 0,2647 + (−2,574) = −2,309 A

Moc w rezystorze

Moc zależy od kwadratu prądu, więc nie podlega zasadzie superpozycji: najpierw zsumuj prądy, potem podnieś do kwadratu.

P_R3 = I_R3²·R₃ = (−2,309)²·6 = 31,98 W

Odpowiedź

P_R3 = 31,98 W

Zsumowanie mocy z poszczególnych przypadków dałoby 40,16 W, co jest błędne.

8.Superpozycja

Odpowiedź: I = 10 mA

Zapisz pomiary za pomocą wkładów

Każdy wkład jest proporcjonalny do własnego źródła.

I₁ + I₂ + I₃ = 10,5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 14,5

I₁ + I₂ − I₃ = −1,5

Wyznacz wkłady

I₁ = 14,5 − 10,5 = 4 mA

I₃ = (10,5 − (−1,5))/2 = 6 mA

I₂ = 10,5 − 4 − 6 = 0,5 mA

Wyłącz V₂

I = I₁ + I₃ = 4 + 6 = 10 mA

Odpowiedź

I = 10 mA

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 3,273 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,455 + 10 = 15,45 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·12/(10+12) = 3,273 V

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = −24,29 V

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,429 + 4 = 5,429 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,857 + (−5)·1,429 = −4,286 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −4,286 + (−5)·4 = −24,29 V

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: R_f = 5 kΩ

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

V₋ = V₊ = V_in, a prąd przez R₁ płynie też przez R_f, więc V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·1 = 5 kΩ

Odpowiedź

R_f = 5 kΩ

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = −10 V

Prąd wejściowy i szybkość narastania

kΩ razy µF daje milisekundy.

RC = 1 kΩ · 0,1 µF = 0,1 ms

szybkość narastania = −V_in/(RC) = −2/0,1 = −20 V/ms

Wyjście w podanej chwili

Wartość idealna leży w granicach ±V_sat, więc układ całkujący jeszcze nie obcina.

V_out = −V_in·t/(RC) = −2·0,5/0,1 = −10 V

Odpowiedź

V_out = −10 V

13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 13,86 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0,6 A

Wyznacz czas

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −10·ln(0,25) = 13,86 ms

Odpowiedź

t = 13,86 ms

14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 4,802 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 15/(5 + 15) = 0,75 A

i(∞) = 15/5 = 3 A

τ = L/R = 47/5 = 9,4 ms

i(t) = 3 + (0,75 − 3)·e^−t/τ

Wyznacz czas

e^−t/τ = (1,65 − 3)/(0,75 − 3) = 0,6

t = 9,4·ln(1,667) = 4,802 ms

Odpowiedź

t = 4,802 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Metoda potencjałów węzłowych

Metoda

Metoda prądów oczkowych

Metoda

Superpozycja

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Moc oddawana przez źródło prądu

Odpowiedź

Ustal węzły

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

NPK w oczku 3

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V1

Przypadek 2 · działa tylko Is

Zsumuj wkłady prądu

Moc w rezystorze

Odpowiedź

Zapisz pomiary za pomocą wkładów

Wyznacz wkłady

Wyłącz V₂

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

Odpowiedź

Prąd wejściowy i szybkość narastania

Wyjście w podanej chwili

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Wyznacz czas

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego