Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa
ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny
prąd = I1 − I2
Źródło prądu w oczku
wyznacza prąd tego oczka

Metoda

  1. Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
  2. Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
  3. W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
  4. Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia
zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu
rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Dzielnik prądu
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Metoda

  1. Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
  2. Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
  3. Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
  4. Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​20 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​15 Ω

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 5 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 ΩR5 = 4 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​10 ΩBIs​4 A

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć potencjał węzła VB (mierzony względem masy).

V1 = 30 VIs = 4 AR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
VB = V
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 30 Ω−+Vs​ = 3 V+−V1​6 VR2​3 ΩAR3​2 ΩBIs​4 A

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc VB − VA = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć potencjał węzła VA (mierzony względem masy).

V1 = 6 VIs = 4 AVs = 3 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 Ω
VA = V
5.Metoda prądów oczkowychŚredni
R1​ = 15 ΩIR1​R2​ = 10 Ω+−V1​12 VR3​2 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 12 VV2 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 Ω
IR1 = A
6.Metoda prądów oczkowychTrudny
R1​ = 5 ΩR2​ = 25 Ω+−VR2​R3​ = 5 Ω+−V1​30 VR4​20 ΩAR5​20 ΩB+−V2​12 VI1​I2​I3​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć napięcie VR2 na R2 o zaznaczonej biegunowości.

V1 = 30 VV2 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 ΩR5 = 20 Ω
VR2 = V
7.SuperpozycjaŚredni
obwód liniowyVs​Is​IRL​

Liniowy obwód rezystancyjny zawiera jedno źródło napięcia Vs i jedno źródło prądu Is. Prąd I przez rezystor obciążenia zmierzono dwukrotnie: przy Vs = 5 V i Is = 10 mA I = 4,5 mA; przy Vs = 4 V i Is = 6 mA I = 3,1 mA. Wyznacz prąd obciążenia I, gdy Vs = 12 V i Is = 10 mA.

5 V, 10 mA → 4,5 mA4 V, 6 mA → 3,1 mAVs = 12 V, Is = 10 mA
I = mA
8.SuperpozycjaTrudny
R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​10 VR3​20 ΩIR3​AIs​5 AB+−V2​36 V

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd IR3 płynący przez R3 w kierunku strzałki.

V1 = 10 VIs = 5 AV2 = 36 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
IR3 = A
9.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩARL​3 ΩIL​B

Między a–b podłączono obciążenie RL = 3 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​2 ABab

Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = −1,9 VR1​ = 1 kΩV2​ = 1,6 VR3​ = 1 kΩR4​ = 2 kΩ

Wzmacniacz różnicowy wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V, przy czym R3 = R1 i R4 = R2. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

V1 = −1,9 VV2 = 1,6 VR1 = R3 = 1 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
Vout = V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
−+Vout​Rf​ = 2 kΩV1​ = −1,7 VR1​ = 22 kΩV2​ = −1,7 VR2​ = 1 kΩ

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

V1 = −1,7 VV2 = −1,7 VR1 = 22 kΩR2 = 1 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
13.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​20 Vt = 0R = 33 ΩL100 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 50% wartości końcowej? Wyznacz t.

Vs = 20 VR = 33 ΩL = 100 mH
t = ms
14.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​12 Vt = 0R = 1 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 3 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 6,6 V? Wyznacz t.

Vs = 12 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 3 V
t = ms

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 19,71 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​20 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 6·22/(6+22) = 4,714 Ω
Req = R1 + 4,714 = 15 + 4,714 = 19,71 Ω

Odpowiedź

Req = 19,71 Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 10,13 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​15 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 4 + 15 = 19 Ω
R4 ∥ 19 = 3,304 Ω
R3 + 3,304 = 7,304 Ω
R2 ∥ 7,304 = 2,127 Ω
Req = R1 + 2,127 = 8 + 2,127 = 10,13 Ω

Odpowiedź

Req = 10,13 Ω
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VB = 28,1 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​10 ΩBIs​4 A

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V1 = 30 V). Niewiadome: VA, VB.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/10 + (VA − 30)/10 + (VA − VB)/6 = 0
0,3667·VA − 0,1667·VB = 3

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/6 = 4
−0,1667·VA + 0,2667·VB = 4

Rozwiąż

Δ = (0,3667)(0,2667) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,07
VA = Δ1/Δ = 1,467/0,07 = 20,95 V
VB = Δ2/Δ = 1,967/0,07 = 28,1 V

Odpowiedź

VB = 28,1 V
4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VA = 3,115 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

VB = VA + 3
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

Rozwiąż

(VA − 6)/30 + VA/3 + (VA + 3)/2 = 4
VA·(1/30 + 1/3 + 1/2) = 4 + 6/30 − 3/2 = 2,7
VA = 2,7/0,8667 = 3,115 V
VB = 6,115 V

Odpowiedź

VA = 3,115 V
5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR1 = 0,62 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 15 ΩR2​ = 10 Ω+−V1​12 VR3​2 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
15·I1 + 2(I1 − I2) = 12
17·I1 − 2·I2 = 12

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
10·I2 + 2(I2 − I1) = (−10)
−2·I1 + 12·I2 = −10

Rozwiąż

Δ = (17)(12) − (−2)(−2) = 200
I1 = Δ1/Δ = 124/200 = 0,62 A
I2 = Δ2/Δ = −146/200 = −0,73 A

Odpowiedź

IR1 = I1 = 0,62 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: VR2 = 10,91 V

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 5 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR4​20 ΩAR5​20 ΩB+−V2​12 VI1​I2​I3​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
5·I1 + 20(I1 − I2) = 30
25·I1 − 20·I2 = 30

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
25·I2 + 20(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−20·I1 + 65·I2 − 20·I3 = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
5·I3 + 20(I3 − I2) = (−12)
−20·I2 + 25·I3 = −12

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 20625
I1 = Δ1/Δ = 31950/20625 = 1,549 A
I2 = Δ2/Δ = 9000/20625 = 0,4364 A
I3 = Δ3/Δ = −2700/20625 = −0,1309 A

Odpowiedź

IR2 = I2 = 0,4364 A
VR2 = IR2·R2 = 0,4364·25 = 10,91 V

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: I = 7,3 mA

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Zapisz odpowiedź jako sumę wkładów

Każdy wkład jest proporcjonalny do własnego źródła, ze stałą zależną tylko od rezystorów.

I = k₁·Vs + k₂·Is
5·k₁ + 10·k₂ = 4,5
4·k₁ + 6·k₂ = 3,1

Wyznacz stałe

Δ = (5)(6) − (10)(4) = −10
k₁ = Δ1/Δ = −4/−10 = 0,4
k₂ = Δ2/Δ = −2,5/−10 = 0,25
k₁ = 0,4 mA/V, k₂ = 0,25

Przewidź nowy prąd

I = 0,4·12 + 0,25·10 = 7,3 mA

Odpowiedź

I = 7,3 mA
8.Superpozycja

Odpowiedź: IR3 = −2,244 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​10 VR3​20 ΩAROZWARCIEBZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 20 ∥ 15 = 8,571 Ω
VA = 10·8,571/(30+8,571) = 2,222 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,222·12/15 = 1,778 V
IR3′ = (0 − VA)/R3 = (0 − 2,222)/20 = −0,1111 A
R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 12 ΩZWARCIER3​20 ΩAIs​5 ABZWARCIE

Przypadek 2 · działa tylko Is

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 12 Ω, więc lewa gałąź to R2+12 = 15 Ω
Req = R4 ∥ 15 = 6,667 Ω
VB = Is·Req = 5·6,667 = 33,33 V
VA = VB·12/15 = 26,67 V
IR3″ = (0 − VA)/R3 = (0 − 26,67)/20 = −1,333 A
R1​ = 30 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 12 ΩZWARCIER3​20 ΩAROZWARCIEB+−V2​36 V

Przypadek 3 · działa tylko V2

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R1 ∥ R3 = 30·20/(30+20) = 12 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 36·15/27 = 20 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 20·12/15 = 16 V
IR3‴ = (0 − VA)/R3 = (0 − 16)/20 = −0,8 A

Dodaj składowe

IR3 = IR3′ + IR3″ + IR3‴
IR3 = (−0,1111) + (−1,333) + (−0,8) = −2,244 A

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości prąd płynie przeciwnie do strzałki.

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: IL = 0,3358 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩZWARCIER2​15 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 15 = 18,16 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·15/(4+15) = 7,105 V
Rth​ = 18,16 Ω+−Vth​7,105 VRL​3 ΩIL​

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,105/(18,16 + 3) = 0,3358 A
10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: IN = 2,476 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 ΩZWARCIER2​5 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 3 = 5,727 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,727 + 2·2,727 = 8,182 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8,182 + 2·3 = 14,18 V
IN​2,476 ARth​5,727 Ωab

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

IN = Vth/Rth = 14,18/5,727 = 2,476 A
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = 7 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściach

Przez R₃ i R₄ płynie ten sam prąd, więc tworzą dzielnik napięcia; sprzężenie zwrotne sprawia, że V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,6·2/(1 + 2) = 1,067 V
V₋ = V₊

PPK na wejściu odwracającym

(−1,9 − 1,067)/1 = (1,067 − Vout)/2
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (2/1)·(1,6 − (−1,9)) = 7 V

Odpowiedź

Vout = 7 V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = 3,555 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I1 = V1/R1 = −1,7/22 = −0,07727 mA
I2 = V2/R2 = −1,7/1 = −1,7 mA
If = I1 + I2 = −1,777 mA

Napięcie wyjściowe

Vout = −Rf·If = −2·(−1,777) = 3,555 V

Odpowiedź

Vout = 3,555 V
13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 2,1 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms
i(∞) = Vs/R = 20/33 = 0,6061 A

Wyznacz czas

0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −3,03·ln(0,5) = 2,1 ms

Odpowiedź

t = 2,1 ms
14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 5,108 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 12 + (3 − 12)·e−t/τ

Wyznacz czas

6,6 = 12 + (−9)·e−t/τ → e−t/τ = (6,6 − 12)/(3 − 12) = 0,6
t = τ·ln((3 − 12)/(6,6 − 12)) = 10·ln(1,667) = 5,108 ms

Odpowiedź

t = 5,108 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1