Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa: ΣI_in = ΣI_out
Prąd gałęzi: I = (V_a − V_b)/R
Węzeł odniesienia: V_ground = 0

Metoda

Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (V_a − V_b)/R.
Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa: ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny: prąd = I₁ − I₂
Źródło prądu w oczku: wyznacza prąd tego oczka

Metoda

Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia: zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu: rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Dzielnik prądu: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Metoda

Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć potencjał węzła V_B (mierzony względem masy).

V₁ = 12 VI_s = 2,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

V_B = V

4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny

Źródło prądu jest regulowane, aż potencjał węzła A osiągnie V_A = 14,5 V. Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd źródła I_s (kierunek jak na rysunku).

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩV_A = 14,5 V

I_s = A

5.Metoda prądów oczkowychŚredni

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I₂ (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V₁ = 6 VV₂ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 Ω

I₂ = A

6.Metoda prądów oczkowychTrudny

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć napięcie V_R2 na R₂ o zaznaczonej biegunowości.

V₁ = 6 VV₂ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 Ω

V_R2 = V

7.SuperpozycjaŚredni

Korzystając z superpozycji, wyznacz moc P_R2 pobieraną przez R₂.

V₁ = 6 VI_s = 2 AR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

P_R2 = W

8.SuperpozycjaTrudny

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć napięcie V_R2 na R₂ o zaznaczonej biegunowości.

V₁ = 18 VI_s = 3 AV₂ = 36 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

V_R2 = V

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 3 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V_in = 1,5 VR_a = 2 kΩR_b = 22 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = −1,5 VV₂ = 1,5 VR₁ = 22 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

13.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 220 mH

W(∞) = mJ

14.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 24 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 11,4 V? Wyznacz t.

V_s = 6 VR = 2,2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,488 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 12·32/(12+32) = 8,727 Ω

R_eq = R₁ + 8,727 = 3 + 8,727 = 11,73 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/11,73 = 2,047 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,047·3 = 17,86 V

I_R2 = V_A/R₂ = 17,86/12 = 1,488 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,488 A

2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 6,25 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 8 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 3,333 Ω

R₃ + 3,333 = 28,33 Ω

R₂ ∥ 28,33 = 4,25 Ω

R_eq = R₁ + 4,25 = 2 + 4,25 = 6,25 Ω

Odpowiedź

R_eq = 6,25 Ω

3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: V_B = −9,273 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V₁ = 12 V). Niewiadome: V_A, V_B.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/12 + (V_A − 12)/12 + (V_A − V_B)/10 = 0

0,2667·V_A − 0,1·V_B = 1

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/10 = (−2,5)

−0,1·V_A + 0,2667·V_B = −2,5

Rozwiąż

Δ = (0,2667)(0,2667) − (−0,1)(−0,1) = 0,06111

V_A = Δ₁/Δ = 0,01667/0,06111 = 0,2727 V

V_B = Δ₂/Δ = −0,5667/0,06111 = −9,273 V

Odpowiedź

V_B = −9,273 V

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I_s = 5,267 A

PPK w węźle A

V_A jest znane, więc to równanie daje V_B.

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(14,5 − 9)/12 + 14,5/20 = (V_B − 14,5)/5

1,183 = (V_B − 14,5)/5 → V_B = 20,42 V

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpychanemu do B przez źródła.

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (20,42 − 14,5)/5 + 20,42/5 = 5,267 A

Odpowiedź

I_s = 5,267 A

5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I₂ = −2,194 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 6

13·I₁ − 3·I₂ = 6

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 3(I₂ − I₁) = (−24)

−3·I₁ + 11·I₂ = −24

Rozwiąż

Δ = (13)(11) − (−3)(−3) = 134

I₁ = Δ₁/Δ = −6/134 = −0,04478 A

I₂ = Δ₂/Δ = −294/134 = −2,194 A

Odpowiedź

I₂ = −2,194 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: V_R2 = 1,378 V

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂, I₃. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 6

13·I₁ − 8·I₂ = 6

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 8(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−8·I₁ + 20·I₂ − 4·I₃ = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

30·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−10)

−4·I₂ + 34·I₃ = −10

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 6456

I₁ = Δ₁/Δ = 3664/6456 = 0,5675 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1112/6456 = 0,1722 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1768/6456 = −0,2739 A

Odpowiedź

I_R2 = I₂ = 0,1722 A

V_R2 = I_R2·R₂ = 0,1722·8 = 1,378 V

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: P_R2 = 0,463 W

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R₃+R₄ = 5+5 = 10 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω

V_A = 6·3,75/(3+3,75) = 3,333 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3,333·5/10 = 1,667 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (3,333 − 0)/6 = 0,5556 A

Przypadek 2 · działa tylko I_s

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃. Strzałka Iₛ wskazuje w dół, od jego węzła, więc Iₛ odprowadza prąd z tego węzła: jego wyraz wchodzi ze znakiem minus.

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 7 = 2,917 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2·2,917 = −5,833 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −5,833·2/7 = −1,667 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (−1,667 − 0)/6 = −0,2778 A

Zsumuj wkłady prądu

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ = 0,5556 + (−0,2778) = 0,2778 A

Moc w rezystorze

Moc zależy od kwadratu prądu, więc nie podlega zasadzie superpozycji: najpierw zsumuj prądy, potem podnieś do kwadratu.

P_R2 = I_R2²·R₂ = 0,2778²·6 = 0,463 W

Odpowiedź

P_R2 = 0,463 W

Zsumowanie mocy z poszczególnych przypadków dałoby 2,315 W, co jest błędne.

8.Superpozycja

Odpowiedź: V_R2 = −30,67 V

Przypadek 1 · działa tylko V₁

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 20 = 10 Ω

V_A = 18·10/(8+10) = 10 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 10·10/20 = 5 V

V_R2′ = V_B − V_A = 5 − 10 = −5 V

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 5,714 Ω, więc lewa gałąź to R₂+5,714 = 15,71 Ω

R_eq = R₄ ∥ 15,71 = 6,111 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−3)·6,111 = −18,33 V

V_A = V_B·5,714/15,71 = −6,667 V

V_R2″ = V_B − V_A = −18,33 − −6,667 = −11,67 V

Przypadek 3 · działa tylko V₂

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R₁ ∥ R₃ = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−36)·15,71/25,71 = −22 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −22·5,714/15,71 = −8 V

V_R2‴ = V_B − V_A = −22 − −8 = −14 V

Dodaj składowe

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = (−5) + (−11,67) + (−14) = −30,67 V

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości biegunowość jest odwrotna do zaznaczonej.

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 0,2941 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·3/(15+3) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 6 = 8,5 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·3/(15+3) = 2,5 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 2,5/8,5 = 0,2941 A

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = −1,778 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·5/(20+5) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 2 = 6 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2 + (−3)·4 = −10 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −10 + (−3)·2 = −16 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −16/(6 + 3) = −1,778 A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = 8,25 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściu +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1,5·22/(2 + 22) = 1,375 V

Wzmocnienie nieodwracające

V₋ = V₊, a prąd płynący przez R₁ płynie też przez R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1,375·(1 + 10/2) = 8,25 V

Odpowiedź

V_out = 8,25 V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = −6,73 V

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I₁ = V₁/R₁ = −1,5/22 = −0,06818 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,5/1 = 1,5 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,432 mA

Napięcie wyjściowe

V_out = −R_f·I_f = −4,7·1,432 = −6,73 V

Odpowiedź

V_out = −6,73 V

13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 4,033 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4,681 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0,1915² = 4,033 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 4,033 mJ

14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 180,1 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 6 + (24 − 6)·e^−t/τ

Wyznacz czas

11,4 = 6 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11,4 − 6)/(24 − 6) = 0,3

t = τ·ln((24 − 6)/(11,4 − 6)) = 149,6·ln(3,333) = 180,1 ms

Odpowiedź

t = 180,1 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Metoda potencjałów węzłowych

Metoda

Metoda prądów oczkowych

Metoda

Superpozycja

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

Ustal węzły

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Odpowiedź

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

NPK w oczku 3

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V1

Przypadek 2 · działa tylko Is

Zsumuj wkłady prądu

Moc w rezystorze

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V1

Przypadek 2 · działa tylko Is

Przypadek 3 · działa tylko V2

Dodaj składowe

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Napięcie na wejściu +

Wzmocnienie nieodwracające

Odpowiedź

Prądy wejściowe

Napięcie wyjściowe

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Zgromadzona energia

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Wyznacz czas

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Przypadek 3 · działa tylko V₂

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego