Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa: ΣI_in = ΣI_out
Prąd gałęzi: I = (V_a − V_b)/R
Węzeł odniesienia: V_ground = 0

Metoda

Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (V_a − V_b)/R.
Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa: ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny: prąd = I₁ − I₂
Źródło prądu w oczku: wyznacza prąd tego oczka

Metoda

Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia: zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu: rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Dzielnik prądu: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Metoda

Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd I_R1 płynący przez R₁ w kierunku strzałki.

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd I_R2 płynący przez R₂ w kierunku strzałki.

V₁ = 9 VI_s = 4 AV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Metoda prądów oczkowychŚredni

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I₂ (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V₁ = 12 VV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

I₂ = A

6.Metoda prądów oczkowychTrudny

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć napięcie V_R2 na R₂ o zaznaczonej biegunowości.

V₁ = 15 VV₂ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 5 Ω

V_R2 = V

7.SuperpozycjaŚredni

Korzystając z superpozycji, wyznacz moc P_R3 pobieraną przez R₃.

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

P_R3 = W

8.SuperpozycjaTrudny

Wyznacz wartość źródła napięcia V₂ (biegunowość jak na rysunku), przy której prąd I_R3 przez R₃ jest równy zeru.

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 Ω

V₂ = V

9.Thévenin i NortonŚredni

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 20 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

10.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V; jego wyjście nasyca się przy ±13 V. Wzmacniacz nieodwracający jest pobudzany sygnałem sinusoidalnym. Wyznacz największą amplitudę wejściową V_in,max (wartość szczytową), przy której wyjście nie jest obcinane.

R₁ = 4,7 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Stosunki rezystorów nie są dopasowane. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = 0,7 VV₂ = −1,8 VR₁ = 22 kΩR₂ = 4,7 kΩR₃ = 47 kΩR₄ = 22 kΩ

V_out = V

13.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 5 ms, w mJ.

V_s = 20 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

14.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 10 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 21,2 V? Wyznacz t.

V_s = 24 VR = 2,2 kΩC = 10 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 15,11 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω

R_eq = R₁ + 3,111 = 12 + 3,111 = 15,11 Ω

Odpowiedź

R_eq = 15,11 Ω

2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,489 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 20 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 15,38 Ω

R₃ + 15,38 = 17,38 Ω

R₂ ∥ 17,38 = 3,883 Ω

R_eq = R₁ + 3,883 = 12 + 3,883 = 15,88 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/15,88 = 0,6296 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,6296·12 = 2,445 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,445/5 = 0,489 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,489 A

3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I_R1 = 0,4176 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V₁ = 12 V). Niewiadome: V_A, V_B.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 12)/4 + (V_A − V_B)/8 = 0

0,575·V_A − 0,125·V_B = 3

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/8 = 4

−0,125·V_A + 0,225·V_B = 4

Rozwiąż

Δ = (0,575)(0,225) − (−0,125)(−0,125) = 0,1137

V_A = Δ₁/Δ = 1,175/0,1137 = 10,33 V

V_B = Δ₂/Δ = 2,675/0,1137 = 23,52 V

Odpowiedź

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 10,33)/4 = 0,4176 A

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I_R2 = 0,6291 A

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V₁ = 9 V, V₂ = 18 V). Niewiadome: V_A, V_B.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/5 + (V_A − 9)/4 + (V_A − V_B)/20 = 0

0,5·V_A − 0,05·V_B = 2,25

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/20 + (V_B − 18)/12 = (−4)

−0,05·V_A + 0,2583·V_B = −2,5

Rozwiąż

Δ = (0,5)(0,2583) − (−0,05)(−0,05) = 0,1267

V_A = Δ₁/Δ = 0,4562/0,1267 = 3,602 V

V_B = Δ₂/Δ = −1,137/0,1267 = −8,98 V

Odpowiedź

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (3,602 − −8,98)/20 = 0,6291 A

5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I₂ = −0,931 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 12

19·I₁ − 15·I₂ = 12

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−18)

−15·I₁ + 21·I₂ = −18

Rozwiąż

Δ = (19)(21) − (−15)(−15) = 174

I₁ = Δ₁/Δ = −18/174 = −0,1034 A

I₂ = Δ₂/Δ = −162/174 = −0,931 A

Odpowiedź

I₂ = −0,931 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: V_R2 = −2,708 V

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂, I₃. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 15

20·I₁ − 8·I₂ = 15

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 8(I₂ − I₁) + 5(I₂ − I₃) = 0

−8·I₁ + 15·I₂ − 5·I₃ = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 5(I₃ − I₂) = (−24)

−5·I₂ + 7·I₃ = −24

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 1152

I₁ = Δ₁/Δ = 240/1152 = 0,2083 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1560/1152 = −1,354 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5064/1152 = −4,396 A

Odpowiedź

I_R2 = I₂ = −1,354 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −1,354·2 = −2,708 V

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: P_R3 = 1,852 W

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R₃+R₄ = 15+3 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 15·18/(15+18) = 8,182 Ω

V_A = 6·8,182/(12+8,182) = 2,432 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2,432·3/18 = 0,4054 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2,432 − 0,4054)/15 = 0,1351 A

Przypadek 2 · działa tylko I_s

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.

R₁ ∥ R₂ = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 21,67 = 2,635 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·2,635 = 10,54 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 10,54·6,667/21,67 = 3,243 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (3,243 − 10,54)/15 = −0,4865 A

Zsumuj wkłady prądu

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ = 0,1351 + (−0,4865) = −0,3514 A

Moc w rezystorze

Moc zależy od kwadratu prądu, więc nie podlega zasadzie superpozycji: najpierw zsumuj prądy, potem podnieś do kwadratu.

P_R3 = I_R3²·R₃ = (−0,3514)²·15 = 1,852 W

Odpowiedź

P_R3 = 1,852 W

Zsumowanie mocy z poszczególnych przypadków dałoby 3,824 W, co jest błędne.

8.Superpozycja

Odpowiedź: V₂ = 10 V

Przypadek 1 · V₁ działające samodzielnie

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 42 = 15,67 Ω

V_A = 5·15,67/(15+15,67) = 2,555 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2,555·12/42 = 0,7299 V

Przypadek 2 · I_s działające samodzielnie

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃. Strzałka Iₛ wskazuje w dół, od jego węzła, więc Iₛ odprowadza prąd z tego węzła: jego wyraz wchodzi ze znakiem minus.

R₁ ∥ R₃ = 9,375 Ω, więc lewa gałąź to R₂+9,375 = 39,38 Ω

R_eq = R₄ ∥ 39,38 = 9,197 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2·9,197 = −18,39 V

V_A = V_B·9,375/39,38 = −4,38 V

Przypadek 3 · V₂ działające samodzielnie, na wolt

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R₁ ∥ R₃ = 9,375 Ω

V_A‴ = V₂·9,375/(12 + 30 + 9,375) = 0,1825·V₂

Przyrównaj V_A do zera

Przy V_A = 0 na R₃ nie ma napięcia, więc jego prąd jest równy zeru.

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 2,555 + (−4,38) + 0,1825·V₂ = 0

V₂ = 1,825/0,1825 = 10 V

Odpowiedź

V₂ = 10 V

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 0,2247 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·12/(15+12) = 6,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,667 + 3 = 9,667 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·12/(15+12) = 6,667 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6,667/(9,667 + 20) = 0,2247 A

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 5,083 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 20 = 24 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2 + 5·4 = 22 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22 + 5·20 = 122 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 122/24 = 5,083 A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_in,max = 0,5836 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 100/4,7 = 22,28

Największe wejście przed obcinaniem

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/22,28 = 0,5836 V

Odpowiedź

V_in,max = 0,5836 V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = −0,8461 V

Napięcie na wejściu +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1,8·22/(47 + 22) = −0,5739 V

Superpozycja obu wejść

Przy V₂ = 0 V₁ widzi wzmacniacz odwracający. Przy V₁ = 0 V₊ jest wzmacniane przez wzmocnienie nieodwracające 1 + R₂/R₁.

V_out = −(4,7/22)·0,7 + (1 + 4,7/22)·(−0,5739) = −0,1495 + (−0,6965) = −0,8461 V

Odpowiedź

V_out = −0,8461 V

13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 6,741 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 20/50 = 0,4 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,4·(1 − e^−5/2) = 0,3672 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·100·0,3672² = 6,741 mJ

Odpowiedź

W = 6,741 mJ

14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 35,41 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 10 µF = 22 ms

v_C(t) = 24 + (10 − 24)·e^−t/τ

Wyznacz czas

21,2 = 24 + (−14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (21,2 − 24)/(10 − 24) = 0,2

t = τ·ln((10 − 24)/(21,2 − 24)) = 22·ln(5) = 35,41 ms

Odpowiedź

t = 35,41 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Metoda potencjałów węzłowych

Metoda

Metoda prądów oczkowych

Metoda

Superpozycja

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

Ustal węzły

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Odpowiedź

Ustal węzły

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

NPK w oczku 3

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V1

Przypadek 2 · działa tylko Is

Zsumuj wkłady prądu

Moc w rezystorze

Odpowiedź

Przypadek 1 · V1 działające samodzielnie

Przypadek 2 · Is działające samodzielnie

Przypadek 3 · V2 działające samodzielnie, na wolt

Przyrównaj VA do zera

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Wzmocnienie

Największe wejście przed obcinaniem

Odpowiedź

Napięcie na wejściu +

Superpozycja obu wejść

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Prąd w danej chwili

Zgromadzona energia

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Wyznacz czas

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Przypadek 1 · V₁ działające samodzielnie

Przypadek 2 · I_s działające samodzielnie

Przypadek 3 · V₂ działające samodzielnie, na wolt

Przyrównaj V_A do zera

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego