Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa: ΣI_in = ΣI_out
Prąd gałęzi: I = (V_a − V_b)/R
Węzeł odniesienia: V_ground = 0

Metoda

Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (V_a − V_b)/R.
Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa: ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny: prąd = I₁ − I₂
Źródło prądu w oczku: wyznacza prąd tego oczka

Metoda

Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia: zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu: rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Dzielnik prądu: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Metoda

Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć moc P_Is oddawaną przez źródło prądu I_s.

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

P_Is = W

4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd I_R2 płynący przez R₂ w kierunku strzałki.

V₁ = 36 VI_s = 1 AV₂ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Metoda prądów oczkowychŚredni

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd I_R2 płynący przez R₂ w kierunku strzałki.

V₁ = 24 VV₂ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 Ω

I_R2 = A

6.Metoda prądów oczkowychTrudny

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I₃ (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V₁ = 9 VV₂ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 Ω

I₃ = A

7.SuperpozycjaŚredni

Wyznacz wartość źródła prądu I_s (kierunek jak na rysunku), przy której prąd I_R3 przez R₃ jest równy zeru.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

I_s = A

8.SuperpozycjaTrudny

Korzystając z superpozycji, wyznacz moc P_R2 pobieraną przez R₂.

V₁ = 9 VI_s = 6 AV₂ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

P_R2 = W

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 10 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 18 VI_s = 1,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V_in = 5 VR_a = 100 kΩR_b = 22 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz prąd I_f płynący przez rezystor sprzężenia zwrotnego w stronę wyjścia.

V₁ = −2 VV₂ = 0,5 VR₁ = 2 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

14.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 5 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 40 ms.

V_s = 10 VR = 4,7 kΩC = 10 µFv_C(0) = 5 Vt = 40 ms

v_C = V

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 8,44 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 8·17/(8+17) = 5,44 Ω

R_eq = R₁ + 5,44 = 3 + 5,44 = 8,44 Ω

Odpowiedź

R_eq = 8,44 Ω

2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 6,88 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 2,5 Ω

R₃ + 2,5 = 4,5 Ω

R₂ ∥ 4,5 = 2,88 Ω

R_eq = R₁ + 2,88 = 4 + 2,88 = 6,88 Ω

Odpowiedź

R_eq = 6,88 Ω

3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: P_Is = 111,7 W

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/12 + (V_A − 6)/4 + (V_A − V_B)/6 = 0

0,5·V_A − 0,1667·V_B = 1,5

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/6 = 4

−0,1667·V_A + 0,2167·V_B = 4

Rozwiąż

Δ = (0,5)(0,2167) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,08056

V_A = Δ₁/Δ = 0,9917/0,08056 = 12,31 V

V_B = Δ₂/Δ = 2,25/0,08056 = 27,93 V

Moc oddawana przez źródło prądu

Źródło wpycha Iₛ w górę do węzła B, od masy (0 V) do V_B. Źródło, którego prąd wypływa z zacisku +, oddaje moc P = V·I.

P_Is = V_B·I_s = 27,93·4 = 111,7 W

Odpowiedź

P_Is = 111,7 W

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I_R2 = −0,2452 A

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V₁ = 36 V, V₂ = 30 V). Niewiadome: V_A, V_B.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/5 + (V_A − 36)/4 + (V_A − V_B)/8 = 0

0,575·V_A − 0,125·V_B = 9

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/8 + (V_B − 30)/2 = 1

−0,125·V_A + 0,825·V_B = 16

Rozwiąż

Δ = (0,575)(0,825) − (−0,125)(−0,125) = 0,4587

V_A = Δ₁/Δ = 9,425/0,4587 = 20,54 V

V_B = Δ₂/Δ = 10,32/0,4587 = 22,51 V

Odpowiedź

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (20,54 − 22,51)/8 = −0,2452 A

5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I_R2 = 2,969 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 24

17·I₁ − 15·I₂ = 24

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−10)

−15·I₁ + 17·I₂ = −10

Rozwiąż

Δ = (17)(17) − (−15)(−15) = 64

I₁ = Δ₁/Δ = 258/64 = 4,031 A

I₂ = Δ₂/Δ = 190/64 = 2,969 A

Odpowiedź

I_R2 = I₂ = 2,969 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I₃ = −0,5508 A

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂, I₃. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 9

35·I₁ − 20·I₂ = 9

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 6(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 30·I₂ − 6·I₃ = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 6(I₃ − I₂) = (−5)

−6·I₂ + 8·I₃ = −5

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 3940

I₁ = Δ₁/Δ = 1236/3940 = 0,3137 A

I₂ = Δ₂/Δ = 390/3940 = 0,09898 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2170/3940 = −0,5508 A

Odpowiedź

I₃ = −0,5508 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: I_s = 4 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Przypadek 1 · V₁ działające samodzielnie

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R₃+R₄ = 10+6 = 16 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 8·16/(8+16) = 5,333 Ω

V_A = 30·5,333/(2+5,333) = 21,82 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 21,82·6/16 = 8,182 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (21,82 − 8,182)/10 = 1,364 A

Przypadek 2 · I_s działające samodzielnie

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ ∥ R₂ łączy A z masą. Iₛ dzieli się w B między R₄ a ścieżkę R₃ + R₁∥R₂; część przez R₃ płynie od B do A, przeciwnie do strzałki.

R₁ ∥ R₂ = 1,6 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·6/17,6 = −0,3409·I_s

Przyrównaj sumę do zera

I_R3′ + I_R3″ = 1,364 − 0,3409·I_s = 0

I_s = 1,364/0,3409 = 4 A

Odpowiedź

I_s = 4 A

8.Superpozycja

Odpowiedź: P_R2 = 125,5 W

Przypadek 1 · działa tylko V₁

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 25 = 3,448 Ω

V_A = 9·3,448/(30+3,448) = 0,9278 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 0,9278·20/25 = 0,7423 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (0,9278 − 0,7423)/5 = 0,03711 A

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 3,529 Ω, więc lewa gałąź to R₂+3,529 = 8,529 Ω

R_eq = R₄ ∥ 8,529 = 5,979 Ω

V_B = I_s·R_eq = 6·5,979 = 35,88 V

V_A = V_B·3,529/8,529 = 14,85 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (14,85 − 35,88)/5 = −4,206 A

Przypadek 3 · działa tylko V₂

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R₁ ∥ R₃ = 30·4/(30+4) = 3,529 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 24·8,529/28,53 = 7,175 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 7,175·3,529/8,529 = 2,969 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (2,969 − 7,175)/5 = −0,8412 A

Zsumuj wkłady prądu

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴ = 0,03711 + (−4,206) + (−0,8412) = −5,01 A

Moc w rezystorze

Moc zależy od kwadratu prądu, więc nie podlega zasadzie superpozycji: najpierw zsumuj prądy, potem podnieś do kwadratu.

P_R2 = I_R2²·R₂ = (−5,01)²·5 = 125,5 W

Odpowiedź

P_R2 = 125,5 W

Zsumowanie mocy z poszczególnych przypadków dałoby 92,01 W, co jest błędne.

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 15,43 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,429 + 12 = 15,43 Ω

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 1,229 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,429 + 25 = 26,43 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5,143 + 1,5·1,429 = 7,286 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 7,286 + 1,5·25 = 44,79 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 44,79/(26,43 + 10) = 1,229 A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = 5,41 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściu +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 5·22/(100 + 22) = 0,9016 V

Wzmocnienie nieodwracające

V₋ = V₊, a prąd płynący przez R₁ płynie też przez R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,9016·(1 + 10/2) = 5,41 V

Odpowiedź

V_out = 5,41 V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: I_f = −0,95 mA

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I₁ = V₁/R₁ = −2/2 = −1 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,5/10 = 0,05 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,95 mA

Odpowiedź

I_f = −0,95 mA

13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 2,75 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3,191 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0,1915² = 2,75 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 2,75 mJ

14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 7,865 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms

v_C(t) = 10 + (5 − 10)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(40) = 10 + (−5)·e^−40/47 = 7,865 V

Odpowiedź

v_C = 7,865 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Metoda potencjałów węzłowych

Metoda

Metoda prądów oczkowych

Metoda

Superpozycja

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Moc oddawana przez źródło prądu

Odpowiedź

Ustal węzły

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

NPK w oczku 3

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypadek 1 · V1 działające samodzielnie

Przypadek 2 · Is działające samodzielnie

Przyrównaj sumę do zera

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V1

Przypadek 2 · działa tylko Is

Przypadek 3 · działa tylko V2

Zsumuj wkłady prądu

Moc w rezystorze

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Napięcie na wejściu +

Wzmocnienie nieodwracające

Odpowiedź

Prądy wejściowe

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Zgromadzona energia

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie w danej chwili

Odpowiedź

Przypadek 1 · V₁ działające samodzielnie

Przypadek 2 · I_s działające samodzielnie

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Przypadek 3 · działa tylko V₂

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego