Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa
ΣIin = ΣIout
Prąd gałęzi
I = (Va − Vb)/R
Węzeł odniesienia
Vground = 0

Metoda

  1. Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
  2. Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
  3. Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (Va − Vb)/R.
  4. Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa
ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny
prąd = I1 − I2
Źródło prądu w oczku
wyznacza prąd tego oczka

Metoda

  1. Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
  2. Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
  3. W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
  4. Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia
zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu
rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Dzielnik prądu
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Metoda

  1. Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
  2. Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
  3. Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
  4. Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metoda

  1. Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
  2. Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
  3. Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
  4. Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
  5. Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBR6​6 Ω

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 ΩR5 = 15 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩBIs​5 A

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd IR1 płynący przez R1 w kierunku strzałki.

V1 = 18 VIs = 5 AR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny
R1​ = 20 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​30 VR3​12 ΩAR5​5 ΩBIs​2 A−+V2​30 V

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć potencjał węzła VB (mierzony względem masy).

V1 = 30 VIs = 2 AV2 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 ΩR5 = 5 Ω
VB = V
5.Metoda prądów oczkowychŚredni
R1​ = 3 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​30 VR3​10 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd oczkowy I1 (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

V1 = 30 VV2 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 Ω
I1 = A
6.Metoda prądów oczkowychTrudny
R1​ = 5 ΩR2​ = 12 ΩR3​ = 5 ΩIR3​+−V1​9 VR4​6 ΩAR5​8 ΩB+−V2​10 VI1​I2​I3​

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd IR3 płynący przez R3 w kierunku strzałki.

V1 = 9 VV2 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 Ω
IR3 = A
7.SuperpozycjaŚredni
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​20 Ω−+VR2​AR4​10 ΩBIs​1,5 A

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć napięcie VR2 na R2 o zaznaczonej biegunowości.

V1 = 18 VIs = 1,5 AR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
VR2 = V
8.SuperpozycjaTrudny
R1​ = 20 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​6 VR3​5 ΩIR3​AIs​3 AB+−V2​?

Wyznacz wartość źródła napięcia V2 (biegunowość jak na rysunku), przy której prąd IR3 przez R3 jest równy zeru.

V1 = 6 VIs = 3 AR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 Ω
V2 = V
9.Thévenin i NortonŚredni
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAab

Wyznacz rezystancję Thévenina Rth widzianą z zacisków a–b.

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin i NortonTrudny
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​2 ABab

Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.

V1 = 12 VIs = 2 AR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
−+Vout​Rf​ = 22 kΩVin​R1​ = 1 kΩ

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V; jego wyjście nasyca się przy ±13 V. Wzmacniacz odwracający jest pobudzany sygnałem sinusoidalnym. Wyznacz największą amplitudę wejściową Vin,max (wartość szczytową), przy której wyjście nie jest obcinane.

R1 = 1 kΩRf = 22 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = −0,5 VR1​ = 1 kΩV2​ = −1,1 VR2​ = 100 kΩ

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.

V1 = −0,5 VV2 = −1,1 VR1 = 1 kΩR2 = 100 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
13.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 2,2 kΩC33 µF+−vC​

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz stałą czasową τ obwodu po zamknięciu łącznika.

Vs = 6 VR1 = 3,3 kΩR2 = 2,2 kΩC = 33 µF
τ = ms
14.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​15 Vt = 0R = 4,7 kΩC?+−vC​

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 15 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 7,5 V, dokładnie 1000 ms po starcie. Przy R = 4,7 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

Vs = 15 VVth = 7,5 VT = 1000 msR = 4,7 kΩ
C = µF

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 10,51 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 20 + 15 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 8·35/(8+35) = 6,512 Ω
Req = R1 + 6,512 = 4 + 6,512 = 10,51 Ω

Odpowiedź

Req = 10,51 Ω
2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 0,6678 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBR6​6 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 15 + 6 = 21 Ω
R4 ∥ 21 = 2,625 Ω
R3 + 2,625 = 6,625 Ω
R2 ∥ 6,625 = 3,985 Ω
Req = R1 + 3,985 = 5 + 3,985 = 8,985 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 6/8,985 = 0,6678 A

Odpowiedź

IR1 = 0,6678 A
3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: IR1 = 4,187 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩBIs​5 A

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V1 = 18 V). Niewiadome: VA, VB.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 18)/2 + (VA − VB)/10 = 0
0,6833·VA − 0,1·VB = 9

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/10 = (−5)
−0,1·VA + 0,1667·VB = −5

Rozwiąż

Δ = (0,6833)(0,1667) − (−0,1)(−0,1) = 0,1039
VA = Δ1/Δ = 1/0,1039 = 9,626 V
VB = Δ2/Δ = −2,517/0,1039 = −24,22 V

Odpowiedź

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (18 − 9,626)/2 = 4,187 A
4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: VB = 1,607 V

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

R1​ = 20 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​30 VR3​12 ΩAR5​5 ΩBIs​2 A−+V2​30 V

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V1 = 30 V, V2 = −30 V). Niewiadome: VA, VB.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/12 + (VA − 30)/20 + (VA − VB)/15 = 0
0,2·VA − 0,06667·VB = 1,5

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/5 + (VB − VA)/15 + (VB − (−30))/15 = 2
−0,06667·VA + 0,3333·VB = 0

Rozwiąż

Δ = (0,2)(0,3333) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,06222
VA = Δ1/Δ = 0,5/0,06222 = 8,036 V
VB = Δ2/Δ = 0,1/0,06222 = 1,607 V

Odpowiedź

VB = 1,607 V
5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I1 = 1,667 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 3 ΩR2​ = 6 Ω+−V1​30 VR3​10 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
3·I1 + 10(I1 − I2) = 30
13·I1 − 10·I2 = 30

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
6·I2 + 10(I2 − I1) = (−30)
−10·I1 + 16·I2 = −30

Rozwiąż

Δ = (13)(16) − (−10)(−10) = 108
I1 = Δ1/Δ = 180/108 = 1,667 A
I2 = Δ2/Δ = −90/108 = −0,8333 A

Odpowiedź

I1 = 1,667 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: IR3 = −0,8123 A

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

R1​ = 5 ΩR2​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR4​6 ΩAR5​8 ΩB+−V2​10 VI1​I2​I3​

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I1, I2, I3. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
5·I1 + 6(I1 − I2) = 9
11·I1 − 6·I2 = 9

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
12·I2 + 6(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−6·I1 + 26·I2 − 8·I3 = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
5·I3 + 8(I3 − I2) = (−10)
−8·I2 + 13·I3 = −10

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 2546
I1 = Δ1/Δ = 1986/2546 = 0,78 A
I2 = Δ2/Δ = −178/2546 = −0,06991 A
I3 = Δ3/Δ = −2068/2546 = −0,8123 A

Odpowiedź

IR3 = I3 = −0,8123 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: VR2 = −15,6 V

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​10 ΩBROZWARCIE

Przypadek 1 · działa tylko V1

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R3+R4 = 20+10 = 30 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 20·30/(20+30) = 12 Ω
VA = 18·12/(3+12) = 14,4 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 14,4·10/30 = 4,8 V
VR2′ = 0 − VA = 0 − 14,4 = −14,4 V
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 ΩZWARCIER2​20 ΩAR4​10 ΩBIs​1,5 A

Przypadek 2 · działa tylko Is

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ jest równolegle z R₂. Iₛ rozdziela się w B między R₄ a drogę przez R₃.

R1 ∥ R2 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 10 ∥ 22,61 = 6,933 Ω
VB = Is·Req = 1,5·6,933 = 10,4 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 10,4·2,609/22,61 = 1,2 V
VR2″ = 0 − VA = 0 − 1,2 = −1,2 V

Dodaj składowe

VR2 = VR2′ + VR2″
VR2 = (−14,4) + (−1,2) = −15,6 V

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości biegunowość jest odwrotna do zaznaczonej.

8.Superpozycja

Odpowiedź: V2 = 26,4 V

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

R1​ = 20 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​6 VR3​5 ΩAROZWARCIEBZWARCIE

Przypadek 1 · V1 działające samodzielnie

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 5 ∥ 12 = 3,529 Ω
VA = 6·3,529/(20+3,529) = 0,9 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 0,9·10/12 = 0,75 V
R1​ = 20 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 10 ΩZWARCIER3​5 ΩAIs​3 ABZWARCIE

Przypadek 2 · Is działające samodzielnie

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃. Strzałka Iₛ wskazuje w dół, od jego węzła, więc Iₛ odprowadza prąd z tego węzła: jego wyraz wchodzi ze znakiem minus.

R1 ∥ R3 = 4 Ω, więc lewa gałąź to R2+4 = 6 Ω
Req = R4 ∥ 6 = 3,75 Ω
VB = −Is·Req = −3·3,75 = −11,25 V
VA = VB·4/6 = −7,5 V

Przypadek 3 · V2 działające samodzielnie, na wolt

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R1 ∥ R3 = 4 Ω
VA‴ = V2·4/(10 + 2 + 4) = 0,25·V2

Przyrównaj VA do zera

Przy VA = 0 na R₃ nie ma napięcia, więc jego prąd jest równy zeru.

VA′ + VA″ + VA‴ = 0,9 + (−7,5) + 0,25·V2 = 0
V2 = 6,6/0,25 = 26,4 V

Odpowiedź

V2 = 26,4 V
9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Rth = 3,714 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩZWARCIER2​4 ΩAabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 2 = 3,714 Ω
10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: Vth = 28,32 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 2 ΩZWARCIER2​25 ΩAROZWARCIEBabRth​

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R1 ∥ R2 = 12·25/(12+25) = 8,108 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,108 + 2 = 10,11 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8,108 + 2·8,108 = 24,32 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24,32 + 2·2 = 28,32 V
11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vin,max = 0,5909 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie

|Av| = Rf/R1 = 22/1 = 22

Największe wejście przed obcinaniem

Vin,max = Vsat/|Av| = 13/22 = 0,5909 V

Odpowiedź

Vin,max = 0,5909 V
12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: Vout = 0,511 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I1 = V1/R1 = −0,5/1 = −0,5 mA
I2 = V2/R2 = −1,1/100 = −0,011 mA
If = I1 + I2 = −0,511 mA

Napięcie wyjściowe

Vout = −Rf·If = −1·(−0,511) = 0,511 V

Odpowiedź

Vout = 0,511 V
13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: τ = 43,56 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć Rth; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·2,2/(3,3 + 2,2) = 1,32 kΩ
vC(∞) = 6·2,2/(3,3 + 2,2) = 2,4 V

Stała czasowa

τ = Rth·C = 1,32·33 = 43,56 ms

Odpowiedź

τ = 43,56 ms
14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 307 µF

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wymagana stała czasowa

7,5 = 15·(1 − e−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 7,5))
τ = 1000/0,6931 = 1443 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 1443/4,7 = 307 µF

Odpowiedź

C = 307 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1