Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Metoda potencjałów węzłowych

Prądowe prawo Kirchhoffa: ΣI_in = ΣI_out
Prąd gałęzi: I = (V_a − V_b)/R
Węzeł odniesienia: V_ground = 0

Metoda

Wybierz węzeł odniesienia (masę) i oznacz potencjały pozostałych węzłów.
Napisz prądowe prawo Kirchhoffa dla każdego nieznanego węzła: prądy wypływające przez każdą gałąź są równe prądom wpływającym.
Wyraź każdy prąd gałęziowy jako (V_a − V_b)/R.
Rozwiąż układ równań, a potem wyznacz potrzebne prądy.

Metoda prądów oczkowych

Napięciowe prawo Kirchhoffa: ΣV = 0 w każdym oczku
Rezystor wspólny: prąd = I₁ − I₂
Źródło prądu w oczku: wyznacza prąd tego oczka

Metoda

Narysuj prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara w każdym oczku (okienku) obwodu.
Zastosuj napięciowe prawo Kirchhoffa w każdym oczku: suma spadków napięć jest równa zeru.
W rezystorze wspólnym dla dwóch oczek prąd jest różnicą dwóch prądów oczkowych.
Rozwiąż równania; wynik ujemny oznacza, że prąd płynie w przeciwną stronę.

Superpozycja

Superpozycja: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Wyłączone źródło napięcia: zwarcie (0 V)
Wyłączone źródło prądu: rozwarcie (0 A)
Dzielnik napięcia: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Dzielnik prądu: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Metoda

Policz niezależne źródła. Dla każdego źródła rozwiążesz jeden prostszy obwód.
Zostaw jedno źródło, a pozostałe wyłącz: źródło napięciowe staje się zwarciem (przewodem), źródło prądowe staje się rozwarciem (przerwą).
Rozwiąż prostszy obwód dla potrzebnego napięcia lub prądu, pilnując jego kierunku.
Powtórz dla każdego źródła, a potem dodaj składowe z ich znakami.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Zadania do ćwiczenia

1.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

2.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

3.Metoda potencjałów węzłowychŚredni

Źródło napięcia Vₛ między A i B ma zacisk + po stronie B, więc V_B − V_A = Vₛ. Użyj metody potencjałów węzłowych z superwęzłem, aby wyznaczyć prąd I_x przez źródło napięcia, od A do B zgodnie ze strzałką.

I_s = 1 AV_s = 4 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 Ω

I_x = A

4.Metoda potencjałów węzłowychTrudny

Użyj metody potencjałów węzłowych, aby wyznaczyć prąd I_R2 płynący przez R₂ w kierunku strzałki.

V₁ = 15 VI_s = 5 AV₂ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Metoda prądów oczkowychŚredni

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć napięcie V_R3 na R₃ o zaznaczonej biegunowości.

V₁ = 30 VV₂ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 Ω

V_R3 = V

6.Metoda prądów oczkowychTrudny

Użyj metody prądów oczkowych, aby wyznaczyć prąd I_R1 płynący przez R₁ w kierunku strzałki.

V₁ = 36 VV₂ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 25 Ω

I_R1 = A

7.SuperpozycjaŚredni

Wyznacz wartość źródła prądu I_s (kierunek jak na rysunku), przy której prąd I_R3 przez R₃ jest równy zeru.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_s = A

8.SuperpozycjaTrudny

Użyj metody superpozycji, aby wyznaczyć prąd I_R3 płynący przez R₃ w kierunku strzałki.

V₁ = 10 VI_s = 2,5 AV₂ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R3 = A

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 10 VI_s = 6 AR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V_in = 0,5 VR_a = 100 kΩR_b = 100 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Układ całkujący wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V; jego wyjście nasyca się przy ±14 V. Kondensator jest rozładowany, gdy w t = 0 zostaje przyłożone stałe napięcie wejściowe V_in = −0,7 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out w chwili t = 2 ms.

V_in = −0,7 VR = 1 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±14 Vt = 2 ms

V_out = V

13.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 75% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 5 VR = 100 ΩL = 220 mH

t = ms

14.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 12 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 7,58 V, dokładnie 100 ms po starcie. Przy C = 22 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 12 VV_th = 7,58 VT = 100 msC = 22 µF

R = kΩ

3Roztwory

1.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2673 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 5 + 12 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 20·17/(20+17) = 9,189 Ω

R_eq = R₁ + 9,189 = 8 + 9,189 = 17,19 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/17,19 = 0,5818 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,5818·8 = 5,346 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,346/20 = 0,2673 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2673 A

2.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,634 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 12 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4,074 Ω

R₃ + 4,074 = 29,07 Ω

R₂ ∥ 29,07 = 13,44 Ω

R_eq = R₁ + 13,44 = 12 + 13,44 = 25,44 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/25,44 = 1,179 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,179·12 = 15,85 V

I_R2 = V_A/R₂ = 15,85/25 = 0,634 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,634 A

3.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I_x = 0,5217 A

Metoda potencjałów węzłowych: wybierz węzeł odniesienia, oznacz nieznane potencjały węzłów, zapisz prądowe prawo Kirchhoffa w każdym nieznanym węźle z prawa Ohma (I = ΔV/R) i rozwiąż równania.

Utwórz superwęzeł

Przez źródło napięcia między A i B płynie nieznany prąd, więc nie można zapisać PPK osobno w A ani w B. Obejmij A, B i źródło jednym superwęzłem: prąd do niego wpływający jest równy prądowi wypływającemu.

V_B = V_A + V_s = V_A + 4

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

Rozwiąż

V_A/8 + (V_A + 4)/15 = 1

V_A = (1 − 4/15)/(1/8 + 1/15) = 3,826 V

V_B = 3,826 + 4 = 7,826 V

Prąd przez źródło napięcia

Wszystko, co przepływa przez źródło od A do B, opuszcza węzeł B przez R₂.

I_x = V_B/R₂ = 7,826/15 = 0,5217 A

Odpowiedź

I_x = 0,5217 A

Wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty prąd płynie przeciwnie do strzałki.

4.Metoda potencjałów węzłowych

Odpowiedź: I_R2 = 1,558 A

Ustal węzły

Masa to dolny przewód. Znane potencjały węzłów wynikają bezpośrednio ze źródeł (V₁ = 15 V, V₂ = −18 V). Niewiadome: V_A, V_B.

PPK w węźle A

Prądy wypływające z A przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do A ze źródeł.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/2 + (V_A − 15)/8 + (V_A − V_B)/30 = 0

0,6583·V_A − 0,03333·V_B = 1,875

PPK w węźle B

Prądy wypływające z B przez rezystory są równe prądowi wpływającemu do B ze źródeł.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/30 + (V_B − (−18))/25 = (−5)

−0,03333·V_A + 0,1233·V_B = −5,72

Rozwiąż

Δ = (0,6583)(0,1233) − (−0,03333)(−0,03333) = 0,08008

V_A = Δ₁/Δ = 0,04058/0,08008 = 0,5068 V

V_B = Δ₂/Δ = −3,703/0,08008 = −46,24 V

Odpowiedź

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (0,5068 − −46,24)/30 = 1,558 A

5.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: V_R3 = 16,07 V

Metoda prądów oczkowych: każdemu oknu obwodu płaskiego przypisz własny prąd oczkowy, zapisz napięciowe prawo Kirchhoffa dla każdego oczka (suma spadków = suma wzrostów) i rozwiąż. Prądy gałęzi to prąd oczkowy lub różnica dwóch prądów oczkowych we wspólnej gałęzi.

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 30

26·I₁ − 20·I₂ = 30

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−10)

−20·I₁ + 24·I₂ = −10

Rozwiąż

Δ = (26)(24) − (−20)(−20) = 224

I₁ = Δ₁/Δ = 520/224 = 2,321 A

I₂ = Δ₂/Δ = 340/224 = 1,518 A

Odpowiedź

I_R3 = I₁ − I₂ = 0,8036 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 0,8036·20 = 16,07 V

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Metoda prądów oczkowych

Odpowiedź: I_R1 = 2,037 A

Przypisz prądy oczkowe

Narysuj w każdym oknie prąd zgodny z ruchem wskazówek zegara: I₁, I₂, I₃. Rezystor wspólny dla dwóch oczek przewodzi różnicę ich prądów.

NPK w oczku 1

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 36

35·I₁ − 30·I₂ = 36

NPK w oczku 2

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 63·I₂ − 25·I₃ = 0

NPK w oczku 3

Idąc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, spadki napięć na rezystorach równają się wzrostom napięć źródeł (od − do + w kierunku obiegu).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−6)

−25·I₂ + 45·I₃ = −6

Rozwiąż

Δ = wyznacznik macierzy współczynników = 36850

I₁ = Δ₁/Δ = 75060/36850 = 2,037 A

I₂ = Δ₂/Δ = 43350/36850 = 1,176 A

I₃ = Δ₃/Δ = 19170/36850 = 0,5202 A

Odpowiedź

I_R1 = I₁ = 2,037 A

Ujemny prąd oczkowy płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

7.Superpozycja

Odpowiedź: I_s = 2,778 A

Superpozycja: w obwodzie liniowym każde napięcie i każdy prąd to suma odpowiedzi na każde niezależne źródło działające osobno. Aby wyłączyć źródło, zastąp idealne źródło napięcia zwarciem, a idealne źródło prądu rozwarciem. Rezystory zostają na miejscu.

Przypadek 1 · V₁ działające samodzielnie

Iₛ staje się rozwarciem, więc R₃ i R₄ tworzą jedną gałąź szeregową od A do masy, równolegle z R₂.

R₃+R₄ = 4+2 = 6 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·6/(10+6) = 3,75 Ω

V_A = 10·3,75/(8+3,75) = 3,191 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3,191·2/6 = 1,064 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (3,191 − 1,064)/4 = 0,5319 A

Przypadek 2 · I_s działające samodzielnie

V₁ staje się zwarciem, więc R₁ ∥ R₂ łączy A z masą. Iₛ dzieli się w B między R₄ a ścieżkę R₃ + R₁∥R₂; część przez R₃ płynie od B do A, przeciwnie do strzałki.

R₁ ∥ R₂ = 4,444 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·2/10,44 = −0,1915·I_s

Przyrównaj sumę do zera

I_R3′ + I_R3″ = 0,5319 − 0,1915·I_s = 0

I_s = 0,5319/0,1915 = 2,778 A

Odpowiedź

I_s = 2,778 A

8.Superpozycja

Odpowiedź: I_R3 = 1,125 A

Przypadek 1 · działa tylko V₁

V₂ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. Patrząc z A, R₃ jest równolegle z szeregową parą R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 27 = 7,297 Ω

V_A = 10·7,297/(10+7,297) = 4,219 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4,219·12/27 = 1,875 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (4,219 − 0)/10 = 0,4219 A

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Oba źródła napięcia stają się zwarciami. Iₛ rozdziela się w B między R₄ (teraz do masy) a R₂ szeregowo z R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 5 Ω, więc lewa gałąź to R₂+5 = 20 Ω

R_eq = R₄ ∥ 20 = 7,5 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2,5·7,5 = 18,75 V

V_A = V_B·5/20 = 4,688 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (4,688 − 0)/10 = 0,4688 A

Przypadek 3 · działa tylko V₂

V₁ staje się zwarciem, a Iₛ rozwarciem. R₁ ∥ R₃ wychodzi z A, szeregowo z R₂ z powrotem do B.

R₁ ∥ R₃ = 10·10/(10+10) = 5 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 15·20/32 = 9,375 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 9,375·5/20 = 2,344 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (2,344 − 0)/10 = 0,2344 A

Dodaj składowe

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 0,4219 + 0,4688 + 0,2344 = 1,125 A

Wynik ujemny oznacza, że w rzeczywistości prąd płynie przeciwnie do strzałki.

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 4,4 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 2 = 4,4 Ω

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = −5,773 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 30·12/(30+12) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 4 = 12,57 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,857 + (−6)·8,571 = −48,57 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −48,57 + (−6)·4 = −72,57 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = −72,57/12,57 = −5,773 A

11.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = 1,425 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściu +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 0,5·100/(100 + 100) = 0,25 V

Wzmocnienie nieodwracające

V₋ = V₊, a prąd płynący przez R₁ płynie też przez R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,25·(1 + 47/10) = 1,425 V

Odpowiedź

V_out = 1,425 V

12.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = 2,979 V

Prąd wejściowy i szybkość narastania

kΩ razy µF daje milisekundy.

RC = 1 kΩ · 0,47 µF = 0,47 ms

szybkość narastania = −V_in/(RC) = −(−0,7)/0,47 = 1,489 V/ms

Wyjście w podanej chwili

Wartość idealna leży w granicach ±V_sat, więc układ całkujący jeszcze nie obcina.

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−0,7)·2/0,47 = 2,979 V

Odpowiedź

V_out = 2,979 V

13.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 3,05 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/100 = 0,05 A

Wyznacz czas

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −2,2·ln(0,25) = 3,05 ms

Odpowiedź

t = 3,05 ms

14.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 4,551 kΩ

Wymagana stała czasowa

7,58 = 12·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(12/(12 − 7,58))

τ = 100/0,9988 = 100,1 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 100,1/22 = 4,551 kΩ

Odpowiedź

R = 4,551 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Teoria obwodów 1: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Metoda potencjałów węzłowych

Metoda

Metoda prądów oczkowych

Metoda

Superpozycja

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

Utwórz superwęzeł

Rozwiąż

Prąd przez źródło napięcia

Odpowiedź

Ustal węzły

PPK w węźle A

PPK w węźle B

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypisz prądy oczkowe

NPK w oczku 1

NPK w oczku 2

NPK w oczku 3

Rozwiąż

Odpowiedź

Przypadek 1 · V1 działające samodzielnie

Przypadek 2 · Is działające samodzielnie

Przyrównaj sumę do zera

Odpowiedź

Przypadek 1 · działa tylko V1

Przypadek 2 · działa tylko Is

Przypadek 3 · działa tylko V2

Dodaj składowe

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Napięcie na wejściu +

Wzmocnienie nieodwracające

Odpowiedź

Prąd wejściowy i szybkość narastania

Wyjście w podanej chwili

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wymagana stała czasowa

Rezystancja

Odpowiedź

Przypadek 1 · V₁ działające samodzielnie

Przypadek 2 · I_s działające samodzielnie

Przypadek 1 · działa tylko V₁

Przypadek 2 · działa tylko I_s

Przypadek 3 · działa tylko V₂

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego