Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Dane są z₁ = 1,5∠150° i z₂ = 3∠−140°. Znajdź argument θ liczby w = z₁·z₂ w stopniach, między −180° a 180°.

z₁ = 1,5∠150°z₂ = 3∠−140°

θ = °

2.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 4 i w = 16∠45° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Znajdź argument z₃ w stopniach, między −180° a 180°.

w = 16∠45°n = 4k = 3

θ₃ = °

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 100 µF

φ = °

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Do jednofazowego zasilania 400 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 6 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) oraz odbiornik 4 kW przy współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym). Wyznacz wypadkowy współczynnik mocy cos φ widziany przez zasilanie.

V = 400 VP₁ = 6 kW, pf₁ = 0,8 indukcyjnyP₂ = 4 kW, pf₂ = 0,9 indukcyjny

cos φ =

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 30 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,9. Wyznacz moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć kondensator.

P = 30 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Równoległy obwód RLC ma R = 2,2 kΩ, L = 100 µH i C = 2,2 nF. Wyznacz jego dobroć Q.

R = 2,2 kΩL = 100 µHC = 2,2 nF

Q =

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Szeregowy obwód RLC (R = 2 Ω, L = 10 mH, C = 100 nF) jest zasilany w rezonansie prądem o amplitudzie 200 mA. Wyznacz energię E_cycle rozpraszaną w R w ciągu jednego cyklu, w µJ.

R = 2 ΩL = 10 mHC = 100 nFI_m = 200 mA

E_cycle = µJ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 15 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 90%, a współczynnik mocy 0,9 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 415 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 15 kWη = 90%cos φ = 0,9V_L = 415 V

I_L = A

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 80% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 68 mH

t = ms

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 12 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 10,8 V, dokładnie 50 ms po starcie. Przy C = 1 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 12 VV_th = 10,8 VT = 50 msC = 1 µF

R = kΩ

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

14.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 5 VI_s = 1,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Znajdź dokładny moduł |G(jω)| G(s) = 99/((s + 9)(s + 11)) przy ω = 4 rad/s, w dB.

G(s) = 99/((s + 9)(s + 11))ω = 4 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 22/(s(s + 2)(s + 7)). Znajdź częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀, przy której ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 22/(s(s + 2)(s + 7))

ω₁₈₀ = rad/s

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ = 10 °

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł i argument w

|w| = 1,5 · 3 = 4,5

θ = 150° + (−140)° = 10°

Argument

θ = 10°

Odpowiedź

θ = 10°

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ₃ = −78,75 °

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

16^1/4 = 2

Argument pierwiastka

θ₃ = (45° + 360°·3)/4 = 281,3° → −78,75°

Argument

θ₃ = −78,75°

Odpowiedź

θ₃ = −78,75°

Pierwiastki (4) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 90°.

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 72,2 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (46,71)²) = 49,06 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(46,71/15) = 72,2°

Odpowiedź

φ = 72,2°

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,3882 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (125,2)²) = 128,8 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 50/128,8 = 0,3882 A

Odpowiedź

I = 0,3882 A

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: cos φ = 0,8408

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q₁ = 6·tan(arccos 0,8) = 4,5 kvar

Q₂ = 4·tan(arccos 0,9) = 1,937 kvar

Sumy

P = 6 + 4 = 10 kW

Q = 4,5 + 1,937 = 6,437 kvar

S = √(10² + 6,437²) = 11,89 kVA

Wypadkowy współczynnik mocy

cos φ = P/S = 10/11,89 = 0,8408 indukcyjny

Odpowiedź

cos φ = 0,8408

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q_C = 7,97 kvar

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(36,87°) = 22,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(25,84°) = 14,53 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 7,97 kvar

Odpowiedź

Q_C = 7,97 kvar

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: Q = 10,32

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Częstotliwość rezonansowa

ω₀ = 1/√(LC) = 2,132 × 10⁶ rad/s

Dobroć

Q = R/(ω₀L) = 2200/(2,132 × 10⁶·1 × 10⁻⁴) = 10,32

Odpowiedź

Q = 10,32

Szerokość pasma wynosi 1/(2πRC) = 32,88 kHz.

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: E_cycle = 7,948 µJ

Zgromadzona energia

W = ½·0,01·0,2² = 0,0002 J

Dobroć

Q = (1/2)·√(0,01/1 × 10⁻⁷) = 158,1

Energia tracona w jednym cyklu

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·0,0002/158,1 = 7,948 × 10⁻⁶ J = 7,948 µJ

sprawdzenie: ½·0,2²·2/5033 = 7,948 × 10⁻⁶ J

Odpowiedź

E_cycle = 7,948 µJ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 25,76 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 15/0,9 = 16,67 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16667/(√3·415·0,9) = 25,76 A

Odpowiedź

I_L = 25,76 A

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 138,3 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Odpowiedź

Q_C = 138,3 kvar

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 5,472 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Wyznacz czas

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −3,4·ln(0,2) = 5,472 ms

Odpowiedź

t = 5,472 ms

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 21,71 kΩ

Wymagana stała czasowa

10,8 = 12·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 10,8))

τ = 50/2,303 = 21,71 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 21,71/1 = 21,71 kΩ

Odpowiedź

R = 21,71 kΩ

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 5,538 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,308 + 5 = 7,308 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·3/(10+3) = 5,538 V

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 1,929 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 5 = 8,75 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,75 + 1,5·3,75 = 9,375 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9,375 + 1,5·5 = 16,88 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 16,88/8,75 = 1,929 A

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: |G(jω)| = −1,322 dB

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Pomnóż moduły

|G(j4)| = 99/(√(4² + 9²)·√(4² + 11²)) = 99/(9,849·11,7) = 0,8588

Wynik

20·log₁₀(0,8588) = −1,322 dB

Odpowiedź

|G(jω)| = −1,322 dB

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ω₁₈₀ = 3,742 rad/s

Częstotliwość odcięcia fazy

(ω/2)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·7) = 3,742 rad/s

Odpowiedź

ω₁₈₀ = 3,742 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Moduł i argument w

Argument

Odpowiedź

Moduł pierwiastków

Argument pierwiastka

Argument

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Kąt fazowy

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Odpowiedź

Moc bierna każdego odbiornika

Sumy

Wypadkowy współczynnik mocy

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Odpowiedź

Częstotliwość rezonansowa

Dobroć

Odpowiedź

Zgromadzona energia

Dobroć

Energia tracona w jednym cyklu

Odpowiedź

Elektryczna moc wejściowa

Prąd linii

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wymagana stała czasowa

Rezystancja

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Pomnóż moduły

Wynik

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego