Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Dane są z₁ = 1,5∠40° i z₂ = 4∠−95°. Znajdź argument θ liczby w = z₁/z₂ w stopniach, między −180° a 180°.
z₁ = 1,5∠40°z₂ = 4∠−95°
θ = °
2.Liczby zespoloneTrudny
Pierwiastki zⁿ = w z n = 6 i w = 729∠−120° to zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 5. Znajdź część rzeczywistą z₁.
w = 729∠−120°n = 6k = 1
Re(z₁) =
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.
V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 100 µF
P = W
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia VC na kondensatorze.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
VC = V
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Silnik jednofazowy pobiera 12 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.
P = 12 kWpf = 0,7V = 400 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
Źródło 230 V (skuteczne), 60 Hz ma impedancję wewnętrzną Zs = 5 + j20 Ω. Impedancję obciążenia ZL można dobrać dowolnie. Wyznacz maksymalną moc czynną Pmax, jaką można dostarczyć do obciążenia.
Vs = 230 V (rms)f = 60 HzZs = 5 + j20 Ω
Pmax = W
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
Szeregowy obwód RLC ma R = 220 Ω, L = 100 µH i C = 470 pF. Wyznacz jego szerokość pasma BW w kHz.
R = 220 ΩL = 100 µHC = 470 pF
BW = kHz
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Zaprojektuj szeregowy filtr RLC o całkowitej rezystancji 50 Ω, częstotliwości rezonansowej 20 kHz i szerokości pasma 400 Hz. Wyznacz pojemność C w nF.
R = 50 Ωf0 = 20 kHzBW = 400 Hz
C = nF
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 45 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 92%, a współczynnik mocy 0,82 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 400 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.
Pout = 45 kWη = 92%cos φ = 0,82VL = 400 V
IL = A
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 120 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.
P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 95% wartości końcowej? Wyznacz t.
Vs = 10 VR = 15 ΩL = 33 mH
t = ms
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 4 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 400 ms.
Vs = 20 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 4 Vt = 400 ms
vC = V
13.Thévenin i NortonŚredni
Między a–b podłączono obciążenie RL = 4 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.
V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩRL = 4 Ω
IL = A
14.Thévenin i NortonTrudny
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 30 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni
W pokazanym szeregowym filtrze środkowoprzepustowym RLC wyjście jest brane na R = 10 Ω, przy L = 2 mH i C = 0,47 µF. Znajdź dobroć Q.
R = 10 ΩL = 2 mHC = 0,47 µF
Q =
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 340/(s(s + 20)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.
L(s) = 340/(s(s + 20))
PM = °
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: θ = 135 °
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Moduł i argument w
|w| = 1,5 / 4 = 0,375
θ = 40° − (−95)° = 135°
Argument
θ = 135°
Odpowiedź
θ = 135°
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: Re(z₁) = 2,298
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Moduł pierwiastków
7291/6 = 3
Argument pierwiastka
θ₁ = (−120° + 360°·1)/6 = 40°
Postać algebraiczna
z₁ = 3·(cos 40° + j sin 40°) = 2,298 + j1,928
Re(z₁) = 2,298
Odpowiedź
Re(z₁) = 2,298
Pierwiastki (6) leżą na okręgu o promieniu 3, w odstępach 60°.
3.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: P = 191,8 W
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancje
XL = 56,55 Ω, XC = 26,53 Ω
Impedancja
|Z| = √(15² + (30,02)²) = 33,56 Ω
Moc czynna
Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.
I = 120/33,56 = 3,576 A
P = I²·R = 3,576²·15 = 191,8 W
Odpowiedź
P = 191,8 W
4.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: VC = 3,204 V
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancje
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω
Impedancja
Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(XL − XC).
Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.
I = V/|Z| = 12/253,6 = 0,04731 A
Napięcie na kondensatorze
VC = I·XC = 0,04731·67,73 = 3,204 V
Odpowiedź
VC = 3,204 V
5.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: Q = 12,24 kvar
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Kąt
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Moc bierna
Q = P·tan φ = 12·1,02 = 12,24 kvar
Odpowiedź
Q = 12,24 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: Pmax = 2645 W
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Dopasowanie sprzężone
Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.
ZL = Zs* = 5 − j20 Ω
Moc maksymalna
I = Vs/(2Rs) = 230/10 = 23 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 230²/(4·5) = 2645 W
Odpowiedź
Pmax = 2645 W
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: BW = 350,1 kHz
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Szerokość pasma w rad/s
R/L = 220/1 × 10⁻⁴ = 2,2 × 10⁶ rad/s
Szerokość pasma w Hz
BW = 2,2 × 10⁶/(2π) = 350141 Hz = 350,1 kHz
Odpowiedź
BW = 350,1 kHz
Dla f₀ = 734,1 kHz daje to Q = 2,097.
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: C = 3,183 nF
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Indukcyjność z szerokości pasma
L = R/(2π·BW) = 50/(2π·400) = 0,01989 H
Pojemność z częstotliwości rezonansowej
C = 1/((2π·20000)²·0,01989) = 3,183 × 10⁻⁹ F = 3,183 nF
Odpowiedź
C = 3,183 nF
Q = f₀/BW = 50.
9.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: IL = 86,1 A
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Elektryczna moc wejściowa
Pin = Pout/η = 45/0,92 = 48,91 kW
Prąd linii
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 48913/(√3·400·0,82) = 86,1 A
Odpowiedź
IL = 86,1 A
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: Cph = 640,6 µF
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 115,9 kvar
Pojemność na fazę
W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 38643/(377·400²) = 640,6 µF
Odpowiedź
Cph = 640,6 µF
11.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: t = 6,591 ms
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/15 = 0,6667 A
Wyznacz czas
0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −2,2·ln(0,05) = 6,591 ms
Odpowiedź
t = 6,591 ms
12.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: vC = 17,4 V
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa
Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ
Napięcie w danej chwili
vC(400) = 20 + (−16)·e−400/220 = 17,4 V
Odpowiedź
vC = 17,4 V
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 2,286 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 2 = 4,4 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·12/(3+12) = 19,2 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 19,2/(4,4 + 4) = 2,286 A
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = 64,29 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 12·30/(12+30) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 3 = 11,57 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,429 + 5·8,571 = 49,29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 49,29 + 5·3 = 64,29 V
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: Q = 6,523
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.