Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Znajdź argument θ liczby z = −6 − j5 w stopniach, jako wartość główną między −180° a 180°.
z = −6 − j5
θ = °
2.Liczby zespoloneTrudny
Dokładnie jeden z punktów A–D jest pierwiastkiem równania z⁴ = 81∠180°. Kliknij go.
w = 81∠180°n = 4
1A (3∠−135°)
2B (3∠180°)
3C (3∠−90°)
4D (1,5∠−135°)
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Szeregowy obwód RLC z L = 20 mH ma być w rezonansie przy 200 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.
f0 = 200 HzL = 20 mH
C = µF
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f0 obwodu.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Do jednofazowego zasilania 400 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 24 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) oraz odbiornik 5 kW przy współczynniku mocy 0,95 (indukcyjnym). Wyznacz wypadkowy współczynnik mocy cos φ widziany przez zasilanie.
Odbiornik jednofazowy pobiera 15 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,95. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.
P = 15 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
W idealnym obwodzie LC z L = 1 mH i C = 47 nF kondensator jest w pełni naładowany w chwili t = 0. Ile czasu mija, zanim cała energia znajdzie się w cewce? Podaj t w µs.
L = 1 mHC = 47 nF
t = µs
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Częstotliwości połowy mocy krzywej rezonansowej wynoszą 8 kHz i 12 kHz. Wyznacz częstotliwość rezonansową jako ich średnią geometryczną, a następnie dobroć Q.
f1 = 8 kHzf2 = 12 kHz
Q =
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 45 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 91%, a współczynnik mocy 0,88 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 690 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.
Pout = 45 kWη = 91%cos φ = 0,88VL = 690 V
IL = A
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 250 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.
Vs = 24 VR = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 2 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 10 ms.
Vs = 10 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 2 Vt = 10 ms
vC = V
13.Thévenin i NortonŚredni
Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.
V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
14.Thévenin i NortonTrudny
Między a–b podłączono obciążenie RL = 4 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.
Filtr górnoprzepustowy RL pokazany na rysunku ma R = 470 Ω, L = 2,2 mH. Podano sinusoidalne wejście 68 kHz. Znajdź wzmocnienie |H| = |vout/vin| w dB.
R = 470 ΩL = 2,2 mHf = 68 kHz
|H| = dB
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7)). Znajdź wzmocnienie K, które daje zapas wzmocnienia 10 dB.
L(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))GM = 10 dB
K =
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: θ = −140,2 °
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Ćwiartka
a = −6, b = −5 → III
Kąt odniesienia
α = atan(5/6) = 39,81°
Argument
θ = −(180° − α) = −140,2°
Odpowiedź
θ = −140,2°
W postaci biegunowej z = 7,81∠−140,2°.
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: A (3∠−135°)
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Moduł i argumenty pierwiastków
|z| = 3
θ = 45°, 135°, −135°, −45°
Punkt
A = 3∠−135°
Odpowiedź
A (3∠−135°)
3.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: C = 31,66 µF
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Warunek rezonansu
W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,02) = 31,66 µF
Odpowiedź
C = 31,66 µF
4.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: f0 = 164,2 Hz
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Rezonans
W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Moc bierna każdego odbiornika
Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).
Q1 = 24·tan(arccos 0,8) = 18 kvar
Q2 = 5·tan(arccos 0,95) = 1,643 kvar
Sumy
P = 24 + 5 = 29 kW
Q = 18 + 1,643 = 19,64 kvar
S = √(29² + 19,64²) = 35,03 kVA
Wypadkowy współczynnik mocy
cos φ = P/S = 29/35,03 = 0,8279 indukcyjny
Odpowiedź
cos φ = 0,8279
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: QC = 8,298 kvar
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Moc bierna przed i po
Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(41,41°) = 13,23 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar
QC = Q1 − Q2 = 8,298 kvar
Odpowiedź
QC = 8,298 kvar
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: t = 10,77 µs
Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f0 = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV0² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi Imax = V0√(C/L). Jeden okres to T = 1/f0; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.
Okres
T = 2π√(0,001·4,7 × 10⁻⁸) = 43,08 µs
Ćwierć okresu
t = T/4 = 10,77 µs
Odpowiedź
t = 10,77 µs
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: Q = 2,449
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Częstotliwość rezonansowa
f0 = √(8000·12000) = 9798 Hz
Pasmo przenoszenia
BW = 12000 − 8000 = 4000 Hz
Dobroć
Q = 9798/4000 = 2,449
Odpowiedź
Q = 2,449
9.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: IL = 47,02 A
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Elektryczna moc wejściowa
Pin = Pout/η = 45/0,91 = 49,45 kW
Prąd linii
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 49451/(√3·690·0,88) = 47,02 A
Odpowiedź
IL = 47,02 A
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: QC = 134,5 kvar
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 134,5 kvar
Odpowiedź
QC = 134,5 kvar
11.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: i = 1,276 A
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa
Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.
vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 10 + (2 − 10)·e−t/τ
Napięcie w danej chwili
vC(10) = 10 + (−8)·e−10/33 = 4,091 V
Odpowiedź
vC = 4,091 V
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IN = 1,905 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 6 = 7,875 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·5/(3+5) = 15 V
Układ zastępczy Nortona
Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.
IN = Vth/Rth = 15/7,875 = 1,905 A
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 3,105 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 15·12/(15+12) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 2 = 8,667 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13,33 + 3·6,667 = 33,33 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 33,33 + 3·2 = 39,33 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 39,33/(8,667 + 4) = 3,105 A
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: |H| = −0,9692 dB
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Częstotliwość graniczna
ωc = R/L = 470/0,0022 = 213636 rad/s
fc = 34001 Hz → f/fc = 68000/34001 = 2
Wzmocnienie
|H| = 2/√(1 + 2²) = 0,8944
20·log₁₀(0,8944) = −0,9692 dB
Odpowiedź
|H| = −0,9692 dB
16.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: K = 97,4
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.