Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Zapisz z = 3∠110° w postaci algebraicznej a + jb i podaj część urojoną b.

r = 3θ = 110°

b =

2.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 4 i w = 81∠90° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Znajdź część rzeczywistą z₂.

w = 81∠90°n = 4k = 2

Re(z₂) =

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 10 mH i C = 0,022 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 5 ΩL = 10 mHC = 0,022 µF

Q =

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik indukcyjny pobiera 7,5 A i 1620 W z jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz R.

V = 240 VI = 7,5 AP = 1620 W

R = Ω

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Źródło 12 V (skuteczne), 60 Hz ma impedancję wewnętrzną Z_s = 25 + j10 Ω. Impedancję obciążenia Z_L można dobrać dowolnie. Wyznacz maksymalną moc czynną P_max, jaką można dostarczyć do obciążenia.

V_s = 12 V (rms)f = 60 HzZ_s = 25 + j10 Ω

P_max = W

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

W idealnym obwodzie LC z L = 100 mH i C = 47 nF kondensator jest w pełni naładowany w chwili t = 0. Ile czasu mija, zanim cała energia znajdzie się w cewce? Podaj t w µs.

L = 100 mHC = 47 nF

t = µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Zaprojektuj szeregowy filtr RLC o całkowitej rezystancji 100 Ω, częstotliwości rezonansowej 50 kHz i szerokości pasma 2 kHz. Wyznacz pojemność C w nF.

R = 100 Ωf₀ = 50 kHzBW = 2 kHz

C = nF

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 60 A ze źródła o napięciu przewodowym 400 V. Współczynnik mocy wynosi 0,82 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 400 VI_L = 60 Acos φ = 0,82

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 75 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 75 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 100 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 2 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 3,2 V? Wyznacz t.

V_s = 6 VR = 6,8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Filtr dolnoprzepustowy RC pokazany na rysunku ma R = 1 kΩ, C = 2,2 nF. Podano sinusoidalne wejście 220 kHz. Znajdź przesunięcie fazowe φ v_out względem v_in, w stopniach.

R = 1 kΩC = 2,2 nFf = 220 kHz

φ = °

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 334/(s(s + 5)(s + 7)). Znajdź częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀, przy której ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 334/(s(s + 5)(s + 7))

ω₁₈₀ = rad/s

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: b = 2,819

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Składowe

a = 3·cos(110°) = −1,026

b = 3·sin(110°) = 2,819

Postać algebraiczna

z = −1,026 + j2,819

b = 2,819

Odpowiedź

b = 2,819

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: Re(z₂) = −2,772

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

81^1/4 = 3

Argument pierwiastka

θ₂ = (90° + 360°·2)/4 = 202,5° → −157,5°

Postać algebraiczna

z₂ = 3·(cos −157,5° + j sin −157,5°) = −2,772 − j1,148

Re(z₂) = −2,772

Odpowiedź

Re(z₂) = −2,772

Pierwiastki (4) leżą na okręgu o promieniu 3, w odstępach 90°.

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 12,36 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (21,9)²) = 102,4 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(21,9/100) = 12,36°

Odpowiedź

φ = 12,36°

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 134,8

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,022·10⁻⁶)) = 10730 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,01/(0,022·10⁻⁶)) = 134,8

Odpowiedź

Q = 134,8

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: R = 28,8 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 1620/7,5² = 28,8 Ω

Odpowiedź

R = 28,8 Ω

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P_max = 1,44 W

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

Z_L = Z_s* = 25 − j10 Ω

Moc maksymalna

I = V_s/(2R_s) = 12/50 = 0,24 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·25) = 1,44 W

Odpowiedź

P_max = 1,44 W

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: t = 107,7 µs

Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f₀ = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV₀² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi I_max = V₀√(C/L). Jeden okres to T = 1/f₀; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.

Okres

T = 2π√(0,1·4,7 × 10⁻⁸) = 430,8 µs

Ćwierć okresu

t = T/4 = 107,7 µs

Odpowiedź

t = 107,7 µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: C = 1,273 nF

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Indukcyjność z szerokości pasma

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·2000) = 0,007958 H

Pojemność z częstotliwości rezonansowej

C = 1/((2π·50000)²·0,007958) = 1,273 × 10⁻⁹ F = 1,273 nF

Odpowiedź

C = 1,273 nF

Q = f₀/BW = 25.

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 34,09 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·400·60 = 41,57 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 41,57·0,82 = 34,09 kW

Odpowiedź

P = 34,09 kW

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 35,96 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 35,96 kvar

Odpowiedź

Q_C = 35,96 kvar

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1345 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 15/100 = 0,15 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,15·(1 − e^−5/2,2) = 0,1345 A

Odpowiedź

i = 0,1345 A

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 80,04 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 6 + (2 − 6)·e^−t/τ

Wyznacz czas

3,2 = 6 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (3,2 − 6)/(2 − 6) = 0,7

t = τ·ln((2 − 6)/(3,2 − 6)) = 224,4·ln(1,429) = 80,04 ms

Odpowiedź

t = 80,04 ms

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 21,6 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,6 + 20 = 21,6 Ω

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 33,71 V

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 20 = 28,57 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5,143 + 1·8,571 = 13,71 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13,71 + 1·20 = 33,71 V

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: φ = −71,8 °

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość graniczna

ω_c = 1/(RC) = 1/(1000·2,2 × 10⁻⁹) = 454545 rad/s

f_c = 72343 Hz → f/f_c = 220000/72343 = 3,041

Faza

φ = − atan(3,041) = −71,8°

Odpowiedź

φ = −71,8°

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ω₁₈₀ = 5,916 rad/s

Częstotliwość odcięcia fazy

(ω/5)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(5·7) = 5,916 rad/s

Odpowiedź

ω₁₈₀ = 5,916 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Składowe

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Moduł pierwiastków

Argument pierwiastka

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Kąt fazowy

Odpowiedź

Częstotliwość rezonansowa

Dobroć

Odpowiedź

Rezystancja z mocy czynnej

Odpowiedź

Dopasowanie sprzężone

Moc maksymalna

Odpowiedź

Okres

Ćwierć okresu

Odpowiedź

Indukcyjność z szerokości pasma

Pojemność z częstotliwości rezonansowej

Odpowiedź

Moc pozorna

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Prąd w danej chwili

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Częstotliwość graniczna

Faza

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego