Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Dane są z₁ = 4∠30° i z₂ = 0,5∠110°. Znajdź część urojoną liczby w = z₁·z₂.

z₁ = 4∠30°z₂ = 0,5∠110°

Im(w) =

2.Liczby zespoloneTrudny

Dokładnie jeden z punktów A–D jest pierwiastkiem równania z³ = 8∠60°. Kliknij go.

w = 8∠60°n = 3

1A (2∠−100°)
2B (3,6∠−40°)
3C (2∠80°)
4D (2∠−70°)

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

I = A

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik indukcyjny pobiera 12,5 A i 1500 W z jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz X.

V = 240 VI = 12,5 AP = 1500 W

X = Ω

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 25 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 330 µF. Wyznacz nowy prąd linii I.

P = 25 kWpf₁ = 0,7V = 240 Vf = 50 HzC = 330 µF

I = A

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Szeregowy obwód RLC rezonuje przy 20 kHz z Q = 2,5. Wyznacz dokładnie dolną częstotliwość połowy mocy f₁ w kHz.

f₀ = 20 kHzQ = 2,5

f₁ = kHz

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Szeregowy obwód RLC (R = 10 Ω, L = 47 mH, C = 22 nF) jest zasilany w rezonansie prądem o amplitudzie 10 mA. Wyznacz energię E_cycle rozpraszaną w R w ciągu jednego cyklu, w nJ.

R = 10 ΩL = 47 mHC = 22 nFI_m = 10 mA

E_cycle = nJ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 80 A ze źródła o napięciu przewodowym 400 V. Współczynnik mocy wynosi 0,75 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 400 VI_L = 80 Acos φ = 0,75

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 250 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 2 ms, w mJ.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

W = mJ

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 24 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 16,8 V? Wyznacz t.

V_s = 12 VR = 3,3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

14.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 24 VI_s = 6 AR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Znajdź dokładny moduł |G(jω)| G(s) = 540/((s + 2)(s + 18)) przy ω = 4 rad/s, w dB.

G(s) = 540/((s + 2)(s + 18))ω = 4 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 16/(s(s + 5)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.

L(s) = 16/(s(s + 5))

PM = °

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: Im(w) = 1,286

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł i argument w

|w| = 4 · 0,5 = 2

θ = 30° + 110° = 140°

Postać algebraiczna

Re(w) = 2·cos(140°) = −1,532

Im(w) = 2·sin(140°) = 1,286

Im(w) = 1,286

Odpowiedź

Im(w) = 1,286

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: A (2∠−100°)

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł i argumenty pierwiastków

|z| = 2

θ = 20°, 140°, −100°

Punkt

A = 2∠−100°

Odpowiedź

A (2∠−100°)

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,109 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (19,18)²) = 21,63 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 24/21,63 = 1,109 A

Odpowiedź

I = 1,109 A

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 100,7 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·10·10⁻⁶)) = 100,7 Hz

Odpowiedź

f₀ = 100,7 Hz

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: X = 16,63 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 1500/12,5² = 9,6 Ω

Reaktancja z impedancji

|Z| = V/I = 240/12,5 = 19,2 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(19,2² − 9,6²) = 16,63 Ω

Odpowiedź

X = 16,63 Ω

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 132,2 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = 25·tan(arccos 0,7) = 25,51 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·330·10⁻⁶ = 5972 var = 5,972 kvar

Q₂ = 25,51 − 5,972 = 19,53 kvar

Nowa moc pozorna

S₂ = √(25² + 19,53²) = 31,73 kVA

Nowy prąd linii

I = S₂/V = 31726/240 = 132,2 A

Odpowiedź

I = 132,2 A

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: f₁ = 16,4 kHz

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Składnik z pierwiastkiem

√(1 + 1/(4·2,5²)) = 1,02

Dolna częstotliwość połowy mocy

f₁ = 20000·(1,02 − 0,2) = 16396 Hz = 16,4 kHz

Odpowiedź

f₁ = 16,4 kHz

Górna wynosi f₂ = 24,4 kHz; sprawdzenie: f₂ − f₁ = 8 kHz = f₀/Q.

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: E_cycle = 101 nJ

Zgromadzona energia

W = ½·0,047·0,01² = 2,35 × 10⁻⁶ J

Dobroć

Q = (1/10)·√(0,047/2,2 × 10⁻⁸) = 146,2

Energia tracona w jednym cyklu

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2,35 × 10⁻⁶/146,2 = 1,01 × 10⁻⁷ J = 101 nJ

sprawdzenie: ½·0,01²·10/4949 = 1,01 × 10⁻⁷ J

Odpowiedź

E_cycle = 101 nJ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 41,57 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·400·80 = 55,43 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 55,43·0,75 = 41,57 kW

Odpowiedź

P = 41,57 kW

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 119,9 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 119,9 kvar

Odpowiedź

Q_C = 119,9 kvar

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 1,649 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,45·(1 − e^−2/1,65) = 0,3161 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·33·0,3161² = 1,649 mJ

Odpowiedź

W = 1,649 mJ

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 665,2 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 12 + (24 − 12)·e^−t/τ

Wyznacz czas

16,8 = 12 + (12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16,8 − 12)/(24 − 12) = 0,4

t = τ·ln((24 − 12)/(16,8 − 12)) = 726·ln(2,5) = 665,2 ms

Odpowiedź

t = 665,2 ms

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 16 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 8 = 12 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(6+12) = 16 V

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 96 V

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 4 = 14 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 6·10 = 72 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 72 + 6·4 = 96 V

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: |G(jω)| = 16,32 dB

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Pomnóż moduły

|G(j4)| = 540/(√(4² + 2²)·√(4² + 18²)) = 540/(4,472·18,44) = 6,548

Wynik

20·log₁₀(6,548) = 16,32 dB

Odpowiedź

|G(jω)| = 16,32 dB

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: PM = 60,81 °

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 25ω² − 256 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·256))/2 = 7,804

ω_c = 2,794 rad/s

Zapas fazy

∠L(jω_c) = −90° − atan(2,794/5) = −119,2°

PM = 180° + ∠L = 60,81°

Odpowiedź

PM = 60,81°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Moduł i argument w

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Moduł i argumenty pierwiastków

Punkt

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Odpowiedź

Rezonans

Odpowiedź

Rezystancja z mocy czynnej

Reaktancja z impedancji

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Nowa moc pozorna

Nowy prąd linii

Odpowiedź

Składnik z pierwiastkiem

Dolna częstotliwość połowy mocy

Odpowiedź

Zgromadzona energia

Dobroć

Energia tracona w jednym cyklu

Odpowiedź

Moc pozorna

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Prąd w danej chwili

Zgromadzona energia

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Pomnóż moduły

Wynik

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

Zapas fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego